Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=e^{4 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - 8y' + 16y = e^{4x}
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea e depois buscamos uma solução particular.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea associada
y'' - 8y' + 16y = 0.
A equação característica é
r^2 - 8r + 16 = 0,
que fatoriza como (r-4)^2=0. Logo, há raiz dupla r=4 e a solução geral da homogênea é
y_c = C_1 e^{4x} + C_2\,x e^{4x}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é e^{4x} e e^{4x} já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por x^2 para obter o ansatz da solução particular:
y_p = A x^2 e^{4x},
onde A é o coeficiente a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p. Primeiro
y_p' = A\bigl(2x e^{4x} + x^2\cdot4e^{4x}\bigr) = A e^{4x}(4x^2 + 2x).
Em seguida
y_p'' = \frac{d}{dx}\bigl[A e^{4x}(4x^2+2x)\bigr] = A e^{4x}\bigl(4(4x^2+2x)+(8x+2)\bigr) = A e^{4x}(16x^2+16x+2).

Passo 5

Substituindo em y'' - 8y' +16y:
y_p'' - 8y_p' + 16y_p = A e^{4x}\bigl[(16x^2+16x+2)-8(4x^2+2x)+16x^2\bigr] = A e^{4x}\cdot 2 = 2A e^{4x}.
Como isso deve ser igual a e^{4x}, temos 2A=1 e, portanto,
A = \tfrac12.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma de y_c com y_p:

Resposta

y(x) = C_1 e^{4x} + C_2\,x e^{4x} + \tfrac12 x^2 e^{4x}.

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