Resolva as seguintes equações diferenciais usando coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da parte homogênea e depois buscamos uma solução particular.
Passo 2
Consideramos a equação homogênea associada
A equação característica é
que fatoriza como
. Logo, há raiz dupla
e a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e
já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, multiplicamos por
para obter o ansatz da solução particular:
onde
é o coeficiente a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Primeiro
Em seguida
Passo 5
Substituindo em
:
Como isso deve ser igual a
, temos
e, portanto,
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma de
com
: