Calcule as integrais:
\int \frac{2 x}{x^{2}(x+1)} d x (Use frações parcias)

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{2x}{x^{2}(x+1)}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo é integração de função racional própria. Vamos decompor
\frac{2x}{x^{2}(x+1)}
em parcelas simples e depois integrar cada termo.

Passo 2

Propondo a decomposição
\frac{2x}{x^{2}(x+1)} \;=\; \frac{A}{x} \;+\;\frac{B}{x^{2}}\;+\;\frac{C}{x+1},
multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x+1) e obtemos
2x = A\,x(x+1) + B\,(x+1) + C\,x^{2}.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A x^2 + A x + B x + B + C x^2 = (A+C)\,x^2 + (A+B)\,x + B.
Comparando com 2x = 0\cdot x^2 + 2x + 0\) surge o sistema \[\begin{cases} A + C = 0,\\\ A + B = 2,\\\ B = 0. \end{cases}
Da terceira equação B=0\], da segunda \(A=2 e da primeira C=-2.

Passo 4

Com A=2, B=0, C=-2 a integral vira
\int \frac{2x}{x^{2}(x+1)}\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x} + \frac{0}{x^2} - \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx = \int \Bigl(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo sabendo que \int \frac{dx}{x}=\ln|x|:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|, \qquad \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|.
Logo
\int \Bigl(\frac{2}{x} - \frac{2}{x+1}\Bigr)\,dx = 2\ln|x| - 2\ln|x+1| + C.

Resposta

2\ln\bigl|x\bigr| \;-\; 2\ln\bigl|x+1\bigr| \;+\; C.

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