Um sistema de resfriamento de um processador é programado para ajustar a velocidade do ventilador baseado na temperatura T\left(e m{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)\). A função que relaciona a velocidade do ventilador \(\mathrm{v}(\mathrm{T})\) (em RPM - Rotações por Minuto) com a temperatura é definida por: \[v(T)= \begin{cases}800 & \text { se } T \leq 40 \\\\ 20 T+k & \text { se } 40<T<80 \\\\ 2400 & \text { se } T \geq 80\end{cases}
onde k\] é uma constante a ser determinada. a) Para que o sistema funcione adequadamente, a transição entre os diferentes modos de operação deve ser suave (sem "saltos" bruscos na velocidade). Determine o valor de lk para que a função v(T) seja contínua em todo seu domínio. exceto em \(T=80^{\circ} \mathrm{C}.
b) Com o valor de k encontrado, verifique se a função é contínua nos pontos críticos T=40^{\circ} \mathrm{C} and T=80^{\circ} \mathrm{C} usando a definição formal de continuidade. Como vocè modificaria a função em T=80^{\circ} \mathrm{C} para torná-la contínua?
c) Do ponto de vista prático, explique por que a continuidade dessa função é importante para o funcionamento do sistema de resfriamento.

Passo 1

O enunciado dá uma velocidade de ventilador v(T)\) em RPM como função da temperatura \(T\) em graus Celsius, com três ramos: \[v(T)= \begin{cases} 800, & T \le 40,\\\\ 20\,T + k, & 40 < T < 80,\\\\ 2400, & T \ge 80. \end{cases}
Precisamos (a) escolher k\] para não haver salto em \(T=40; (b) verificar continuidade em T=40 e T=80 pela definição formal e propor como “consertar” o salto em T=80; (c) explicar por que, na prática, é importante essa continuidade.

Passo 2

Para garantir que não haja salto em T=40, igualamos o valor à esquerda e o limite pela direita naquele ponto.
Limite pela esquerda em T=40:
\lim_{T\to40^-}v(T)=800.
Limite pela direita em T=40:
\lim_{T\to40^+}v(T)=20\cdot40 + k = 800 + k.
Para continuidade em T=40 devemos ter
800 = 800 + k \quad\Longrightarrow\quad k = 0.

Passo 3

Com k=0, o ramo do meio é v(T)=20T.
Usamos a definição: v é contínua em T_0 se
\lim_{T\to T_0^-}v(T) = \lim_{T\to T_0^+}v(T) = v(T_0).
Em T_0=40:
\lim_{T\to40^-}v(T)=800,\quad \lim_{T\to40^+}v(T)=20\cdot40=800,\quad v(40)=800,
logo é contínua em 40.
Em T_0=80:
\lim_{T\to80^-}v(T)=20\cdot80=1600,\quad \lim_{T\to80^+}v(T)=2400,\quad v(80)=2400.
Aqui a esquerda 1600 difere da direita 2400, então há descontinuidade de salto em T=80.
Para “consertar” essa descontinuidade, basta fazer com que o valor no terceiro ramo corresponda a 1600 em vez de 2400. Por exemplo, redefinir
v(T)=1600 \quad \text{para} \quad T\ge80.
Assim o limite pelas duas bandas em T=80 passa a ser 1600 e coincide com v(80).

Passo 4

Na prática, mudanças bruscas de velocidade do ventilador geram ruído, vibração e podem reduzir a vida útil do motor. Se a função que controla a rotação for contínua, o ventilador acelera ou desacelera suavemente conforme a temperatura varia, evitando esses efeitos indesejáveis.

Resposta

a) k=0.
b) Contínua em T=40, descontínua em T=80. Para torná-la contínua em 80, redefina o valor daquele ramo para v(T)=1600 quando T\ge80.
c) A continuidade evita saltos bruscos na rotação, reduzindo ruído, vibração e desgaste mecânico do ventilador.

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