Determine:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\sqrt{4 x^{2}+3 x}+2 x\right);

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x \to -\infty} \bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\bigr).
Aqui enfrentamos uma forma indeterminada do tipo \infty - \infty. Vamos usar a técnica de racionalização por conjugado para resolver.

Passo 2

Denote
L = \sqrt{4x^{2}+3x} + 2x.
Multiplicamos por
\frac{\sqrt{4x^{2}+3x} - 2x}{\sqrt{4x^{2}+3x} - 2x}
de modo a racionalizar:
L = \frac{\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}+2x\bigr)\bigl(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\bigr)}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} = \frac{4x^{2}+3x - 4x^{2}}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x} = \frac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}-2x}.

Passo 3

No denominador, escrevemos
\sqrt{4x^{2}+3x} = \sqrt{x^{2}\Bigl(4 + \tfrac{3}{x}\Bigr)} = |x|\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}.
Como x\to -\infty, vale |x|=-x. Assim,
\sqrt{4x^{2}+3x}-2x = -x\sqrt{4+\tfrac{3}{x}} - 2x = -\,x\bigl(\sqrt{4+\tfrac{3}{x}} + 2\bigr).
Portanto
L = \frac{3x}{-\,x\bigl(\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2\bigr)} = -\,\frac{3}{\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}+2}.

Passo 4

Fazendo x \to -\infty temos \tfrac{3}{x}\to 0, logo
\sqrt{4+\tfrac{3}{x}}\;\to\;\sqrt{4}=2,
e a expressão converge para
-\frac{3}{2+2} = -\frac{3}{4}.

Resposta

-\tfrac{3}{4}

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