Dado o problema de valor inicial
(a)
Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b)
Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(c)
Determine a solução do PVI.
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá a EDO
com condição inicial
.
Conteúdo: EDO de primeira ordem linear. Vamos (i) classificar ordem e linearidade, (ii) usar o Teorema de existência e unicidade para achar o maior intervalo de validade, e (iii) resolver por fator integrante.
Conteúdo: EDO de primeira ordem linear. Vamos (i) classificar ordem e linearidade, (ii) usar o Teorema de existência e unicidade para achar o maior intervalo de validade, e (iii) resolver por fator integrante.
Passo 2
Para classificar basta ver a derivada de maior ordem e a forma da equação. Aqui aparece apenas
, logo é uma EDO de primeira ordem. Além disso podemos reescrever como
com
,
,
, o que mostra que é linear em
.
Passo 3
Dividindo por
(onde
) obtemos a forma padrão
As funções
e
são contínuas em qualquer intervalo onde
. Em particular, em torno de
o primeiro zero de
ocorre em
. Logo o maior intervalo que contém
e onde a solução existe e é única é
Passo 4
Para resolver, calculamos o fator integrante
No intervalo
,
, então
.
Passo 5
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Isolando
:
Usando
dá
, ou seja
. Portanto
Resposta
a) A EDO é de primeira ordem e linear.
b) A solução existe e é única em .
c) .
b) A solução existe e é única em
c)