Dado o problema de valor inicial
(\cos x) y^{\prime}+(\sin x) y=3, \quad y(0)=2 .
(a) (0,4) Classifique a EDO quanto à sua ordem e quanto à linearidade.
(b) (0,3) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
(c) (1,6) Determine a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
(\cos x)\,y' + (\sin x)\,y = 3,
com condição inicial y(0)=2.
Conteúdo: EDO de primeira ordem linear. Vamos (i) classificar ordem e linearidade, (ii) usar o Teorema de existência e unicidade para achar o maior intervalo de validade, e (iii) resolver por fator integrante.

Passo 2

Para classificar basta ver a derivada de maior ordem e a forma da equação. Aqui aparece apenas y', logo é uma EDO de primeira ordem. Além disso podemos reescrever como
a_1(x)\,y' + a_0(x)\,y = b(x),
com a_1(x)=\cos x, a_0(x)=\sin x, b(x)=3, o que mostra que é linear em y.

Passo 3

Dividindo por \cos x (onde \cos x\neq0) obtemos a forma padrão
y' + \tan x \,y = 3\operatorname{sec} x.
As funções p(x)=\tan x e q(x)=3\operatorname{sec} x são contínuas em qualquer intervalo onde \cos x\neq0. Em particular, em torno de x=0 o primeiro zero de \cos x ocorre em x=\pm\pi/2. Logo o maior intervalo que contém 0 e onde a solução existe e é única é
\bigl(-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 4

Para resolver, calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tan x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln|\cos x|\bigr) = \frac1{|\cos x|}.
No intervalo \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), \cos x>0, então \mu(x)=\operatorname{sec} x.

Passo 5

Multiplicando a EDO por \mu(x)=\operatorname{sec} x obtemos
\operatorname{sec} x\,y' + \operatorname{sec} x\tan x\,y = 3\operatorname{sec}^2 x \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sec} x\,y\bigr) = 3\operatorname{sec}^2 x.
Integrando ambos os lados:
\operatorname{sec} x\,y = \int 3\operatorname{sec}^2 x\,dx = 3\tan x + C.

Passo 6

Isolando y:
y = \cos x\,(3\tan x + C) = 3\sin x + C\cos x.
Usando y(0)=2 2 = 3\cdot0 + C\cdot1, ou seja C=2. Portanto
y(x) = 3\sin x + 2\cos x.

Resposta

a) A EDO é de primeira ordem e linear.
b) A solução existe e é única em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr).
c) y(x) = 3\sin x + 2\cos x.

Exercícios relacionados