Determine:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x^{3}-8 x+2}{7 x^{3}+2 x+1};

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{5x^{3}-8x+2}{7x^{3}+2x+1}\,.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos dividir numerador e denominador pelo maior grau de x, que é x^{3}.

Passo 2

Dividindo cada termo por x^{3}, obtemos
\frac{5x^{3}-8x+2}{7x^{3}+2x+1} =\frac{\displaystyle\frac{5x^{3}}{x^{3}}-\frac{8x}{x^{3}}+\frac{2}{x^{3}}} {\displaystyle\frac{7x^{3}}{x^{3}}+\frac{2x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}} =\frac{5-\frac{8}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{7+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}\,.

Passo 3

Quando x\to\infty, os termos \tfrac{8}{x^{2}}, \tfrac{2}{x^{3}}, \tfrac{2}{x^{2}} e \tfrac{1}{x^{3}} vão todos a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{5-\frac{8}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}}{7+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}} =\frac{5-0+0}{7+0+0} =\frac{5}{7}\,.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{7}

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