Calcule as integrais:
\int(\operatorname{sen} x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx
Isso envolve técnicas de redução de potência em funções trigonométricas, mais precisamente usar a identidade de redução para \operatorname{sen}^{2}x.

Passo 2

Usamos a identidade
\operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Assim,
(\operatorname{sen} x)^{4} = (\operatorname{sen}^{2}x)^{2} = \biggl(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\biggr)^{2}.

Passo 3

Vamos expandir o quadrado:
\biggl(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\biggr)^{2} = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\bigr).
Ainda temos \cos^{2}(2x), que reduzimos de novo:

Passo 4

Aplicando a identidade análoga para \cos^{2}(2x):
\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}.
Substituindo,
(\operatorname{sen} x)^{4} = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{1}{4}\bigl(\tfrac{3}{2} - 2\cos(2x) + \tfrac{\cos(4x)}{2}\bigr).
Reordenando os coeficientes,
(\operatorname{sen} x)^{4} = \frac{3}{8} \;-\; \frac{1}{2}\cos(2x) \;+\; \frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx = \int\Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)\,dx.
Calculando cada parte:
\int \frac{3}{8}\,dx = \frac{3}{8}\,x,
\int \bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(2x)\bigr)\,dx = -\frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2} = -\frac{\operatorname{sen}(2x)}{4},
\int \frac{1}{8}\cos(4x)\,dx = \frac{1}{8}\cdot\frac{\operatorname{sen}(4x)}{4} = \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32}.

Passo 6

Somando tudo e incluindo a constante de integração C,
\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx = \frac{3x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C.

Resposta

\int (\operatorname{sen} x)^{4}\,dx = \frac{3x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C.

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