Resolva as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} x(2 x-8)^{11} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,(2x-8)^{11}\,dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição (u-substituição) para transformar a integral numa forma mais simples de polinômio em u.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
u = 2x - 8,
então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2},
e também
x = \frac{u+8}{2}.
Quando x=0, u=2\cdot0-8=-8.
Quando x=1, u=2\cdot1-8=-6.

Passo 3

Substituindo na integral inicial:
\int_{0}^{1} x\,(2x-8)^{11}\,dx = \int_{u=-8}^{u=-6} \Bigl(\frac{u+8}{2}\Bigr)\,u^{11}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{4}\int_{-8}^{-6}\!\bigl(u^{12}+8u^{11}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos a antiderivada em u:
\int\bigl(u^{12}+8u^{11}\bigr)\,du = \frac{u^{13}}{13} + \frac{8u^{12}}{12} = \frac{u^{13}}{13} + \frac{2u^{12}}{3}.
Logo,
\int_{0}^{1} x\,(2x-8)^{11}\,dx = \frac{1}{4}\Bigl[\frac{u^{13}}{13} + \frac{2u^{12}}{3}\Bigr]_{u=-8}^{u=-6}.

Passo 5

Aplicando os limites u=-8 e u=-6:
\frac{1}{4}\Biggl[ \frac{(-6)^{13}-(-8)^{13}}{13} +\frac{2}{3}\bigl((-6)^{12}-(-8)^{12}\bigr) \Biggr] = \frac{1}{4}\Biggl[ \frac{8^{13}-6^{13}}{13} -\frac{2}{3}\bigl(8^{12}-6^{12}\bigr) \Biggr].
Colocando sobre denominadores comuns:
= \frac{8^{13}-6^{13}}{52} - \frac{8^{12}-6^{12}}{6}.

Resposta

\int_{0}^{1} x\,(2x-8)^{11}\,dx = \frac{8^{13}-6^{13}}{52} - \frac{8^{12}-6^{12}}{6}.

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