Calcule as integrais:
\int_{0}^{2} \int_{-1}^{1}\left(x^{2} y-x y^{3}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de f(x,y)=x^{2}y - x\,y^{3} sobre o retângulo D = [0,2]\times[-1,1]. Vamos usar o Teorema de Fubini para escrever a integral como iterada e empregar a propriedade de funções ímpares em intervalos simétricos.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini,
\int_{0}^{2}\int_{-1}^{1}\bigl(x^{2}y - x\,y^{3}\bigr)\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\Bigl[\int_{-1}^{1}x^{2}y\,dy \;-\;\int_{-1}^{1}x\,y^{3}\,dy\Bigr]\,dx.

Passo 3

Em cada integral interna x é constante em relação a y, e tanto y quanto y^{3} são funções ímpares em [-1,1]. Logo,
\int_{-1}^{1}x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{-1}^{1}y\,dy = x^{2}\cdot 0 = 0,
\int_{-1}^{1}x\,y^{3}\,dy = x\int_{-1}^{1}y^{3}\,dy = x\cdot 0 = 0.
Portanto o integrando interno é 0.

Passo 4

Substituindo no integral externo fica
\int_{0}^{2}0\,dx = 0.

Resposta

0

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