Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2} 2 y^{2} \operatorname{sen}(x y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração e calcular a integral
I = \int_{0}^{2}\!\int_{x}^{2}2y^{2}\sin(xy)\,dy\,dx.
O conteúdo é mudança na ordem de integração em integrais duplas e depois avaliação direta.

Passo 2

Descrevemos a região de integração
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;x\le y\le2\}.
Para inverter, fixamos y primeiro: y vai de 0 a 2 e, para cada y, x varia de 0 até y.

Passo 3

Reescrevemos I trocando a ordem:
I = \int_{y=0}^{2}\!\int_{x=0}^{y}2y^{2}\sin(xy)\,dx\,dy.

Passo 4

Na integral interna \displaystyle \int_{0}^{y}\sin(xy)\,dx, y é constante. Usamos a substituição u = xy, logo du = y\,dx, e quando x=0 temos u=0, quando x=y temos u=y^{2}. Assim
\int_{0}^{y}\sin(xy)\,dx = \int_{0}^{y^{2}}\sin(u)\,\frac{du}{y} = \frac{1}{y}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{y^{2}} = \frac{1 - \cos(y^{2})}{y}.
Multiplicando por 2y^{2} obtemos
2y^{2}\cdot\frac{1 - \cos(y^{2})}{y} =2y\bigl(1 - \cos(y^{2})\bigr).

Passo 5

Fica então
I = \int_{0}^{2}2y\bigl(1 - \cos(y^{2})\bigr)\,dy =\int_{0}^{2}2y\,dy \;-\;\int_{0}^{2}2y\cos(y^{2})\,dy.

Passo 6

Calculamos em duas partes:
\int_{0}^{2}2y\,dy = \bigl[y^{2}\bigr]_{0}^{2} = 4,
e usando u=y^{2}, du=2y\,dy,
\int_{0}^{2}2y\cos(y^{2})\,dy =\int_{0}^{4}\cos(u)\,du =\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{4} =\sin(4).
Logo
I = 4 - \sin(4).

Resposta

4 - \sin(4)

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