Inverta a ordem de integração e calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1 / 16} \int_{\sqrt[4]{y}}^{1 / 2} \cos \left(16 \pi x^{5}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int_{0}^{1/16} \int_{\sqrt[4]{y}}^{1/2} \cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dx\,dy
invertendo a ordem de integração. O conteúdo usado aqui é a troca de ordem em integrais duplas (Teorema de Fubini) e, em seguida, uma substituição para resolver a integral simples resultante.

Passo 2

Primeiro, descrevemos geometricamente a região de integração no plano (x,y). As desigualdades são
0 \le y \le \tfrac1{16}, \quad \sqrt[4]{y} \le x \le \tfrac12.
Isso equivale ao conjunto
\{(x,y)\mid 0\le y\le x^4,\\\ 0\le x\le\tfrac12\},
pois \sqrt[4]{y}\le x é equivalente a y\le x^4. Logo, invertendo a ordem, temos
x\text{ vai de }0\text{ a }\tfrac12, \quad y\text{ vai de }0\text{ a }x^4.

Passo 3

Reescrevendo I com a ordem trocada:
I = \int_{x=0}^{1/2} \Bigl(\int_{y=0}^{x^4} \cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dy\Bigr)\,dx.
Como \cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr) não depende de y, a integral interna é
\int_{0}^{x^4} \cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dy = x^4\,\cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr).
Portanto,
I = \int_{0}^{1/2} x^4 \,\cos\bigl(16\pi x^{5}\bigr)\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{1/2} x^4 \cos\bigl(16\pi x^5\bigr)\,dx
fazemos a substituição
t = 16\pi x^5, \quad dt = 80\pi\,x^4\,dx.
Isso dá
x^4\,dx = \frac{dt}{80\pi},
e os limites em t vão de t(0)=0 até
t\bigl(\tfrac12\bigr) = 16\pi\bigl(\tfrac12\bigr)^5 = \frac{16\pi}{32} = \frac\pi2.
Logo,
I = \int_{0}^{\pi/2} \cos(t)\,\frac{dt}{80\pi} = \frac{1}{80\pi}\,\bigl[\sin(t)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{80\pi}\,(1 - 0) = \frac{1}{80\pi}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{80\pi}

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