Calcule as integrais:
\int_{0}^{3} \int_{-2}^{1}\left(x+y^{2}+1\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{3}\int_{-2}^{1}\bigl(x+y^{2}+1\bigr)\,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini, que nos permite fazer a integração iterada em duas variáveis, primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Integramos primeiro em x:
\int_{-2}^{1}\bigl(x+y^{2}+1\bigr)\,dx = \int_{-2}^{1}x\,dx \;+\;\bigl(y^{2}+1\bigr)\int_{-2}^{1}dx.
Em bloco:
\int_{-2}^{1}x\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-2}^{1} =\frac{1^{2}}{2}-\frac{(-2)^{2}}{2} =-\frac{3}{2},
\int_{-2}^{1}dx =\bigl[x\bigr]_{-2}^{1} =1-(-2) =3.
Logo,
\int_{-2}^{1}\bigl(x+y^{2}+1\bigr)\,dx =-\frac{3}{2}+3\bigl(y^{2}+1\bigr) =3y^{2}+\frac{3}{2}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em y:
\int_{0}^{3}\Bigl(3y^{2}+\tfrac{3}{2}\Bigr)\,dy =3\int_{0}^{3}y^{2}\,dy +\frac{3}{2}\int_{0}^{3}dy.
Em bloco:
3\int_{0}^{3}y^{2}\,dy =3\left[\frac{y^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =\bigl[y^{3}\bigr]_{0}^{3} =27,
\frac{3}{2}\int_{0}^{3}dy =\frac{3}{2}\bigl[y\bigr]_{0}^{3} =\frac{3}{2}\cdot 3 =\frac{9}{2}.
Somando,
27+\frac{9}{2} =\frac{54}{2}+\frac{9}{2} =\frac{63}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{63}{2}

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