Nos Exercícios 1-18 encontre \mathcal{L}{f(t)}, usando a definição.
f(t)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & t<1 \\\\ 1, & t \geq 1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= \begin{cases} -1, & t<1,\\\ \;1, & t\ge1, \end{cases}
usando a definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

Passo 2

Pela definição, dividimos a integral em dois trechos em t=1:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}e^{-st}(-1)\,dt +\int_{1}^{\infty}e^{-st}(1)\,dt.

Passo 3

Calculemos a primeira parte:
\int_{0}^{1}-e^{-st}\,dt =-\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt =-\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{0}^{1} =-\Bigl(-\tfrac{e^{-s}-1}{s}\Bigr) =\frac{e^{-s}-1}{s}.

Passo 4

Agora a segunda parte:
\int_{1}^{\infty}e^{-st}\,dt =\lim_{A\to\infty}\Bigl[-\tfrac{1}{s}e^{-st}\Bigr]_{1}^{A} =\frac{e^{-s}}{s}.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{e^{-s}-1}{s}+\frac{e^{-s}}{s} =\frac{2e^{-s}-1}{s}.

Resposta

\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\frac{2e^{-s}-1}{s}.

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