Problema 9 Calcule \iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d \mathbf{S} para \mathbf{F}(x, y, z)=x y \mathbf{i}+\left(y^{2}-e^{x z^{2}}\right) \mathbf{j}+\sin (x y) \mathbf{k} e S é a superfície delimitada por z=1-x^{2}, z=0, y=0 e y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}
onde \mathbf{F}(x,y,z)=x y\,\mathbf{i}+\bigl(y^{2}-e^{x z^{2}}\bigr)\,\mathbf{j}+\sin(xy)\,\mathbf{k} e S é a superfície fechada delimitando o volume V pelas faces
z=1-x^{2},\quad z=0,\quad y=0,\quad y+z=2.
O conteúdo usado será a identidade \nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F})=0 e o Teorema da Divergência.

Passo 2

Como S é uma superfície fechada que envolve o volume V, podemos aplicar o Teorema da Divergência ao campo vetorial
\nabla\times\mathbf{F}. Esse teorema diz que
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S} =\iiint_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\,dV.

Passo 3

Usamos a identidade vetorial
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)=0
válida para qualquer campo vetorial suficientemente suave.

Passo 4

Portanto
\iiint_{V}\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\mathbf{F}\bigr)\,dV =\iiint_{V}0\,dV=0,
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\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot d\mathbf{S}=0.

Resposta

0

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