(2.5 pontos) use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\left(z+y+e^{x^{2}}\right) d x+\left(x-z+\ln \left(1+y^{2}\right)\right) d y+\operatorname{sen}(2 z) d z
onde \Gamma(t)=(2 \cos (t), 2 \operatorname{sen}(t), 6-2 \cos (t)-2 \operatorname{sen}(t)), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\Gamma}\bigl(z+y+e^{x^{2}}\bigr)\,dx+\bigl(x-z+\ln(1+y^{2})\bigr)\,dy+\operatorname{sen}(2z)\,dz
ao longo da curva
\Gamma(t)=(2\cos t,\,2\operatorname{sen} t,\,6-2\cos t-2\operatorname{sen} t),\quad 0\le t\le2\pi
usando o Teorema de Stokes. Vamos identificar o campo vetorial
\mathbf F=(P,Q,R)\quad\text{com}\quad P=z+y+e^{x^{2}},\;Q=x-z+\ln(1+y^{2}),\;R=\operatorname{sen}(2z)
e usar
\oint_{\Gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS
onde S é uma superfície cujo contorno é \Gamma.

Passo 2

Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf F:
\nabla\times\mathbf F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Aqui
\frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial(-z)}{\partial z}=-1,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=1,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=1.
Logo
\nabla\times\mathbf F=(0-(-1),\,1-0,\,1-1)=(1,1,0).

Passo 3

Observamos que \Gamma é a intersecção do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com o plano x+y+z=6. Escolhemos como S a parte desse plano sobre o disco x^{2}+y^{2}\le4.
Parametricamente
\mathbf r(u,v)=(u,v,6-u-v),\quad u^{2}+v^{2}\le4,
então
\mathbf r_u\times\mathbf r_v =\det\begin{pmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\\ 1&0&-1\\\ 0&1&-1\end{pmatrix} =(1,1,1).
O elemento orientado é \mathbf n\,dS=(1,1,1)\,dA. Assim
\iint_{S}(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS =\iint_{D}(1,1,0)\cdot(1,1,1)\,dA =\iint_{D}2\,dA =2\cdot\bigl(\text{área do disco de raio }2\bigr) =2\cdot4\pi =8\pi.á
Pelo Teorema de Stokes, a integral de linha vale 8\pi.

Resposta

8\pi

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