(2.5 pontos) Seja
a curva de equação
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva
e calcule a integral de linha
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
em que
é a elipse
percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para a parte não-singular e reconhecer partes exatas ou de circulação zero.
Passo 2
Esboçamos
: reescrevendo
é uma elipse centrada em
com semi-eixo horizontal
e vertical
.
Passo 3
Decomponho o campo vetorial
em três partes:
-
, -
, -
.
Assim
Passo 4
A parte
é singular só em
, que não está dentro da elipse (ela fica inteira com
). Além disso
logo
é campo conservativo no interior de
e
Passo 5
Para
calculamos o rotacional e aplicamos Green:
A área da elipse é
. Logo
Passo 6
Para
vemos que
e na verdade
com
. Portanto