(2.5 pontos) Seja \gamma a curva de equação
4(x-2)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1
percorrida uma vez no sentido anti-horário. Faça um esboço da curva \gamma e calcule a integral de linha
\int_{\gamma}\left(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-4 y+\operatorname{sen}(x)\right) d x+\left(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+2 x+\operatorname{sen}(y)\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-4 y+\operatorname{sen}(x)\Bigr)\,dx +\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+2 x+\operatorname{sen}(y)\Bigr)\,dy
em que \gamma é a elipse
4(x-2)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1
percorrida no sentido anti-horário. O conteúdo principal será usar o Teorema de Green para a parte não-singular e reconhecer partes exatas ou de circulação zero.

Passo 2

Esboçamos \gamma: reescrevendo
4(x-2)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-2)^{2}}{\tfrac14}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1,
é uma elipse centrada em (2,-1) com semi-eixo horizontal a=\tfrac12 e vertical b=2.

Passo 3

Decomponho o campo vetorial \mathbf F=(P,Q) em três partes:
  1. \mathbf F_{1}=\bigl(\tfrac{y}{x^{2}+4y^{2}},\,-\tfrac{x}{x^{2}+4y^{2}}\bigr),
  2. \mathbf F_{2}=(-4y,\;2x),
  3. \mathbf F_{3}=(\operatorname{sen}(x),\;\operatorname{sen}(y)).
    Assim
\oint_{\gamma}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\oint_{\gamma}\mathbf F_{1}\cdot d\mathbf r +\oint_{\gamma}\mathbf F_{2}\cdot d\mathbf r +\oint_{\gamma}\mathbf F_{3}\cdot d\mathbf r.

Passo 4

A parte \mathbf F_{1} é singular só em (0,0), que não está dentro da elipse (ela fica inteira com x>1{,}5). Além disso
\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) -\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\Bigr) =0,
logo \mathbf F_{1} é campo conservativo no interior de \gamma e
\oint_{\gamma}\mathbf F_{1}\cdot d\mathbf r=0.

Passo 5

Para \mathbf F_{2}=(-4y,2x) calculamos o rotacional e aplicamos Green:
\frac{\partial}{\partial x}(2x)-\frac{\partial}{\partial y}(-4y) =2-(-4)=6.
A área da elipse é \pi ab=\pi\cdot\tfrac12\cdot2=\pi. Logo
\oint_{\gamma}\mathbf F_{2}\cdot d\mathbf r =\iint_{R}6\,dA =6\cdot\pi.

Passo 6

Para \mathbf F_{3}=(\operatorname{sen} x,\operatorname{sen} y) vemos que
\frac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen} y) -\frac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen} x) =0,
e na verdade \mathbf F_{3}=d\varphi com \varphi(x,y)=-\cos x-\cos y. Portanto
\oint_{\gamma}\mathbf F_{3}\cdot d\mathbf r=0.

Resposta

\int_{\gamma}\Bigl(\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}-4 y+\operatorname{sen}(x)\Bigr)\,dx +\Bigl(-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}+2 x+\operatorname{sen}(y)\Bigr)\,dy =6\pi.

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