Calcule as integrais:
\int \operatorname{sen}(3 x) \cdot \cos (4 x) \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin(3x)\,\cos(4x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas usando identidades de soma de ângulos. Vamos usar a identidade produto-para-soma para reescrever o integrando de forma mais simples.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin A\cos B = \tfrac12\bigl[\sin(A+B) + \sin(A-B)\bigr].
No nosso caso A=3x e B=4x, então
\sin(3x)\cos(4x) = \tfrac12\bigl[\sin(3x+4x) + \sin(3x-4x)\bigr] = \tfrac12\bigl[\sin(7x) + \sin(-x)\bigr].
Como \sin(-x)=-\sin(x), a expressão fica
\sin(3x)\cos(4x) = \tfrac12\bigl[\sin(7x) - \sin(x)\bigr].

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \sin(3x)\cos(4x)\,dx = \tfrac12\int\bigl[\sin(7x) - \sin(x)\bigr]dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \sin(7x)\,dx = -\tfrac{1}{7}\cos(7x), \qquad \int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 4

Voltando à nossa constante \tfrac12, obtemos
\tfrac12\Bigl(-\tfrac{1}{7}\cos(7x) - (-\cos(x))\Bigr) = -\tfrac{1}{14}\cos(7x) + \tfrac12\cos(x).
Não esqueça de acrescentar a constante de integração C.

Resposta

\int \sin(3x)\cos(4x)\,dx = -\tfrac{1}{14}\cos(7x) + \tfrac12\cos(x) + C.

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