Calcule as integrais:
\int \operatorname{tg}^{2} x \cdot \operatorname{sec} ^{4} x \cdot d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral \displaystyle \int \tan^2 x \,\operatorname{sec}^4 x \,dx.
O conteúdo principal é integração de funções trigonométricas usando substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição \displaystyle t = \tan x.
Dessa forma \displaystyle \frac{dt}{dx} = \operatorname{sec}^2 x,
ou seja, \displaystyle \operatorname{sec}^2 x\,dx = dt.

Passo 3

Reescrevemos o integrando extraindo um fator \operatorname{sec}^2 x:
\tan^2 x \,\operatorname{sec}^4 x\,dx = \tan^2 x \,\operatorname{sec}^2 x \,\bigl(\operatorname{sec}^2 x\,dx\bigr) = t^2\,(1+t^2)\,dt,
pois \displaystyle \operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + t^2.

Passo 4

Agora integramos em t:
\int t^2\,(1+t^2)\,dt = \int (t^2 + t^4)\,dt = \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t=\tan x, obtemos
\frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\tan^5 x}{5} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\tan^3 x}{3} + \frac{\tan^5 x}{5} + C.

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