Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx
e, caso ela convirja, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em todo o eixo real e o uso de primitiva de funções racionais simples.

Passo 2

Para tratar o comportamento em -\infty e +\infty, definimos a integral como limite simétrico:
I = \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Se esse limite existir finito, a integral converge.

Passo 3

Precisamos de uma primitiva de \frac{1}{1+x^{2}}. Sabemos que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan(x)\bigr) = \frac{1}{1+x^{2}}.
Logo, uma primitiva é F(x)=\arctan(x).

Passo 4

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo [-R,R]:
\int_{-R}^{R} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \bigl[\arctan(x)\bigr]_{-R}^{R} = \arctan(R) - \arctan(-R).
Como \arctan(-R) = -\arctan(R), isso fica
\arctan(R) - (-\arctan(R)) = 2\,\arctan(R).
Agora tomamos R \to \infty. Sabemos que \lim_{R\to\infty}\arctan(R)=\tfrac{\pi}{2}. Portanto,
I = \lim_{R\to\infty} 2\,\arctan(R) = 2 \times \frac{\pi}{2} = \pi.

Passo 5

A integral imprópria converge e seu valor é \pi.

Resposta

\pi

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