Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da integral imprópria
e, caso ela convirja, calcular o seu valor. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias em todo o eixo real e o uso de primitiva de funções racionais simples.
Passo 2
Para tratar o comportamento em
e
, definimos a integral como limite simétrico:
Se esse limite existir finito, a integral converge.
Passo 3
Precisamos de uma primitiva de
. Sabemos que
Logo, uma primitiva é
.
Passo 4
Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo no intervalo
:
Como
, isso fica
Agora tomamos
. Sabemos que
. Portanto,
Passo 5
A integral imprópria converge e seu valor é
.