Determine se a integral converge ou diverge; se convergir, encontre seu valor.
\int_{0}^{4} \frac{1}{(x-3)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
\int_{0}^{4} \frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx
e, caso ela convirja, calcular seu valor. O conteúdo é integrais impróprias com singularidade no interior do intervalo, onde usaremos definição de limite e antiderivação.

Passo 2

Observamos que \frac{1}{(x-3)^{2}} diverge em x=3, que fica em [0,4]. Então quebramos a integral em
\int_{0}^{4} \frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx =\int_{0}^{3}\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx +\int_{3}^{4}\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx.

Passo 3

Vamos estudar a primeira parte
\int_{0}^{3}\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx =\lim_{a\to3^{-}}\int_{0}^{a}\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx.
A antiderivada de \frac{1}{(x-3)^{2}} é
\int\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx =-\frac{1}{x-3}.
Logo
\int_{0}^{a}\frac{1}{(x-3)^{2}}\,dx =\Bigl[-\tfrac{1}{x-3}\Bigr]_{0}^{a} =-\frac{1}{a-3}+\frac{1}{-3} =-\frac{1}{a-3}-\frac{1}{3}.
Quando a\to3^{-}, temos a-3\to0^{-} e -\tfrac{1}{a-3}\to+\infty. Portanto essa parte diverge.

Passo 4

Como a porção de 0 a 3 já diverge, toda a integral imprópria diverge, independentemente da segunda parte.

Resposta

A integral diverge.

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