Calcule as integrais:
\int \operatorname{sen}^{4} x \cdot d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{4}x \, dx.
O conteúdo principal aqui é o uso de fórmulas de redução de potência para funções trigonométricas pares. Vamos usar a identidade que reduz potências de \sin em termos de cossenos de múltiplos de x.

Passo 2

Usamos a fórmula de redução para \sin^{2}x:
\sin^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Logo,
\sin^{4}x = \bigl(\sin^{2}x\bigr)^{2} = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^{2}.

Passo 3

Expandindo o quadrado:
\sin^{4}x = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^{2}(2x)\bigr).
E em seguida aplicamos de novo a redução em \cos^{2}(2x):
\cos^{2}(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}.
Substituindo:
\sin^{4}x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{1}{4}\Bigl(\frac{2 - 4\cos(2x) + 1 + \cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
\int \sin^{4}x \, dx = \int\Bigl(\frac{3}{8} - \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)dx.
Isto dá
\frac{3}{8}x - \frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4x)}{4} + C = \frac{3x}{8} - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C.

Resposta

\int \sin^{4}x \, dx = \frac{3x}{8} - \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32} + C.

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