Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}} usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é reconhecer o padrão \sqrt{a^{2}-x^{2}} e usar a substituição x=2\sin\theta, pois \sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta.

Passo 2

Fazendo x=2\sin\theta, temos
dx = 2\cos\theta\,d\theta,
\sqrt{4-x^{2}} = 2\cos\theta,
x^{2}=4\sin^{2}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{2\cos\theta\,d\theta}{(4\sin^{2}\theta)(2\cos\theta)} = \frac{1}{4}\int \frac{d\theta}{\sin^{2}\theta} = \frac{1}{4}\int \csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Sabemos que
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta + C.
Logo,
\frac{1}{4}\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\frac{1}{4}\cot\theta + C.

Passo 5

Para voltar a x, note que \sin\theta = \tfrac{x}{2} e \cos\theta = \tfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}. Assim,
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}/2}{x/2} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}.
Portanto,
-\frac{1}{4}\cot\theta = -\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}.

Resposta

-\frac{1}{4}\,\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x} + C.

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