Calcule as integrais:
\int \theta \operatorname{sen}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \theta \operatorname{sen}(\theta)\, d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • Trata-se de uma integral indefinida, logo a resposta deve incluir a constante de integração \,C.

Passo 2

Qual método usar? Para integrais do tipo produto de uma função polinomial (aqui \theta) por uma função trigonométrica (aqui \sin\theta), o método padrão e mais simples é a integração por partes. Vou explicar a fórmula e de onde vem.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivação:
\frac{d}{d\theta}\big(u(\theta)\,v(\theta)\big)=u'(\theta)\,v(\theta)+u(\theta)\,v'(\theta).
Integrando ambos os lados em \theta obtemos a fórmula
\int u(\theta)\,v'(\theta)\,d\theta = u(\theta)\,v(\theta) - \int u'(\theta)\,v(\theta)\,d\theta.
Na prática escrevemos a fórmula compacta como
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida (geralmente algo que simplifica when derivada),
  • dv é o resto do integrando, de modo que v=\int dv,
  • du é a derivada de u (ou seja du=u'(\theta)\,d\theta).
Exemplo rápido (só para entender): para \int x e^{x}\,dx escolhe-se u=x e dv=e^x dx. Isso reduz a potência x quando derivamos u.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: escolhemos
u=\theta,\qquad dv=\sin(\theta)\,d\theta.
Motivo: ao derivar u=\theta simplificamos para du=d\theta, e dv=\sin\theta\,d\theta tem antiderivada direta.

Passo 4

Calcular du e v:
du=d\theta, \qquad v=\int \sin(\theta)\,d\theta = -\cos(\theta).
(Observação: \int \sin(\theta)\,d\theta = -\cos(\theta) porque \dfrac{d}{d\theta}(-\cos\theta)=\sin\theta.)

Passo 5

Agora usar a fórmula \int u\,dv = u v - \int v\,du. Substituindo:
\int \theta \sin(\theta)\,d\theta = \theta\cdot(-\cos\theta) - \int \big(-\cos\theta\big)\,d\theta.
Simplificando:
\int \theta \sin(\theta)\,d\theta = -\theta\cos\theta + \int \cos\theta\,d\theta.
E como \int \cos\theta\,d\theta = \sin\theta, obtemos
\int \theta \sin(\theta)\,d\theta = -\theta\cos\theta + \sin\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Verificação rápida (para a gente se sentir seguro): derivando o resultado deve voltar o integrando:
\frac{d}{d\theta}\big(-\theta\cos\theta+\sin\theta\big) = -\cos\theta + \theta\sin\theta + \cos\theta = \theta\sin\theta.
Confere com o integrando original.

Passo 7

Pronto! Relaxa: a técnica é sempre escolher u que fica mais simples ao derivar (tipicamente polinômios) e dv cuja antiderivada é conhecida (expoenciais, senos, cossenos, etc.). Isso resolve muita integral de produto na prova. Você conseguiu — só falta decorar esse fluxo: escolher u,dv, achar du,v, aplicar a fórmula, integrar o que sobrar e somar C.

Resposta

-\theta\cos\theta+\sin\theta+C

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