Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A variável de integração é
. - Trata-se de uma integral indefinida, logo a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Qual método usar? Para integrais do tipo produto de uma função polinomial (aqui
) por uma função trigonométrica (aqui
), o método padrão e mais simples é a integração por partes. Vou explicar a fórmula e de onde vem.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivação:
Integrando ambos os lados em
obtemos a fórmula
Na prática escrevemos a fórmula compacta como
Aqui:
-
é uma função escolhida (geralmente algo que simplifica when derivada), -
é o resto do integrando, de modo que , -
é a derivada de (ou seja ).
Exemplo rápido (só para entender): para
escolhe-se
e
. Isso reduz a potência
quando derivamos
.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: escolhemos
Motivo: ao derivar
simplificamos para
, e
tem antiderivada direta.
Passo 4
Calcular
e
:
(Observação:
porque
.)
Passo 5
Agora usar a fórmula
. Substituindo:
Simplificando:
E como
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Verificação rápida (para a gente se sentir seguro): derivando o resultado deve voltar o integrando:
Confere com o integrando original.
Passo 7
Pronto! Relaxa: a técnica é sempre escolher
que fica mais simples ao derivar (tipicamente polinômios) e
cuja antiderivada é conhecida (expoenciais, senos, cossenos, etc.). Isso resolve muita integral de produto na prova. Você conseguiu — só falta decorar esse fluxo: escolher
, achar
, aplicar a fórmula, integrar o que sobrar e somar
.