Calcule as integrais:
\int x^{2} \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2}\ln(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é x^{2}\ln(x).
  • Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração C.
  • A função \ln(x) está definida para x>0, então a expressão resultante é normalmente válida para x>0.

Passo 2

Vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Vou explicar rapidamente de onde vem e o que significa.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos a identidade
u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx.
Rearranjando, obtemos a fórmula usada para integrar produtos:
\int u(x)\,v'(x)\,dx = u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx.
Na prática, escolhe-se u e dv de modo que du (a derivada de u) simplifique e v=\int dv seja fácil de calcular. Uma regra prática: escolha u como a parte que “complica” (por exemplo \ln(x), funções trigonométricas compostas, etc.) e dv como a parte facilmente integrável (polinômios, potências simples, etc.).

Passo 3

Agora escolhemos as partes na nossa integral. Para
\int x^{2}\ln(x)\,dx
escolhemos
u=\ln(x),\qquad dv=x^{2}\,dx.
Explico por quê: \ln(x) simplifica ao derivar e x^{2} é fácil de integrar.
Calculemos du e v:
  • Diferenciando u=\ln(x) obtemos
du=\frac{1}{x}\,dx.
  • Integrando dv=x^{2}\,dx obtemos
v=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Aqui, du e v são as quantidades que entram na fórmula de integração por partes.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
substituímos as funções que encontramos:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \ln(x)\cdot\frac{x^{3}}{3} - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Simplificando o integrando na segunda parcela:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x^{2}}{3}.
Logo
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral restante \int x^{2}\,dx:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Substituindo no resultado:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C.
Multiplicando os fatores:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln(x) - \frac{x^{3}}{9} + C.
Se quiser, pode fatorar x^{3}:
\int x^{2}\ln(x)\,dx = \frac{x^{3}}{9}\big(3\ln(x)-1\big) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C

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