Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Trata-se de uma integral indefinida, então o resultado deve conter a constante de integração
. - A função
está definida para , então a expressão resultante é normalmente válida para .
Passo 2
Vamos usar uma técnica chamada integração por partes. Vou explicar rapidamente de onde vem e o que significa.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto da diferenciação. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz:
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos a identidade
Rearranjando, obtemos a fórmula usada para integrar produtos:
Na prática, escolhe-se
e
de modo que
(a derivada de
) simplifique e
seja fácil de calcular. Uma regra prática: escolha
como a parte que “complica” (por exemplo
, funções trigonométricas compostas, etc.) e
como a parte facilmente integrável (polinômios, potências simples, etc.).
Passo 3
Agora escolhemos as partes na nossa integral. Para
escolhemos
Explico por quê:
simplifica ao derivar e
é fácil de integrar.
Calculemos
e
:
- Diferenciando
obtemos
- Integrando
obtemos
Aqui,
e
são as quantidades que entram na fórmula de integração por partes.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
substituímos as funções que encontramos:
Simplificando o integrando na segunda parcela:
Logo
Passo 5
Agora calculamos a integral restante
:
Substituindo no resultado:
Multiplicando os fatores:
Se quiser, pode fatorar
: