Questão 4: (2,5 pontos) Verifique se o campo vetorial \vec{F}(x, y)=\left(2 x \cos (y)+y^{2}\right) \hat{i}+ \left(-x^{2} \sin (y)+2 x y\right) \hat{j} é conservativo. Se for, determine uma função potencial f tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial \vec F(x,y)=(2x\cos(y)+y^2)\,\hat\imath+(-x^2\sin(y)+2xy)\,\hat\jmath
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f com \nabla f=\vec F. O conteúdo envolve campos conservativos em \mathbb{R}^2 (domínio simplesmente conexo) e a condição \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Defina
P(x,y)=2x\cos(y)+y^2,
Q(x,y)=-x^2\sin(y)+2xy.
Então \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=-2x\sin(y)+2y
e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-2x\sin(y)+2y.
Como essas derivadas coincidem em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo.

Passo 3

Sendo \vec F=\nabla f, devemos ter \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y).
Integrando em relação a x:
f(x,y)=\int\bigl(2x\cos(y)+y^2\bigr)\,dx = x^2\cos(y)+x\,y^2+g(y),
onde g(y) é uma função que depende só de y.

Passo 4

Agora calculamos \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =-x^2\sin(y)+2xy+g'(y)
e igualamos a Q(x,y):
-x^2\sin(y)+2xy+g'(y) =-x^2\sin(y)+2xy.
Dessa igualdade segue g'(y)=0, logo g(y)=C (constante).

Passo 5

Portanto, uma função potencial conveniente é
f(x,y)=x^2\cos(y)+x\,y^2+C.

Resposta

f(x,y)=x^2\cos(y)+x\,y^2+C, mostrando que o campo é conservativo.

Exercícios relacionados