Questão 4: (2,5 pontos) Verifique se o campo vetorial
é conservativo. Se for, determine uma função potencial
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial com
. O conteúdo envolve campos conservativos em
(domínio simplesmente conexo) e a condição
.
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
Passo 2
Defina
Então
e .
Como essas derivadas coincidem em todo , o campo é conservativo.
e
Como essas derivadas coincidem em todo
Passo 3
Sendo
, devemos ter
.
Integrando em relação a :
Integrando em relação a
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 4
Agora calculamos
e igualamos a :
e igualamos a
Dessa igualdade segue
, logo
(constante).
Passo 5
Portanto, uma função potencial conveniente é