Questão 3: (2,5 pontos) Determine o trabalho pelo campo de força \vec{F}(x, y)=y \hat{i}+x \hat{j} sobre uma partícula que se move ao longe da parábola y=x^{2} de (0,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede o trabalho realizado pelo campo de força \vec{F}(x,y)=y\,\hat{i}+x\,\hat{j}
sobre uma partícula que se desloca ao longo da curva C\colon y=x^2 de (0,0) até (1,1).
O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial e, como passo principal, vamos verificar se o campo é conservativo para usar a função potencial.

Passo 2

Escrevendo \vec{F}=(P,Q) com P(x,y)=y e Q(x,y)=x, calculamos
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (x)}{\partial x}=1.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \vec{F} é conservativo. Logo existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x}=P=y \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=\int y\,dx=xy+g(y).
Para determinar g(y), exigimos \partial \varphi/\partial y=Q=x, daí
\frac{\partial}{\partial y}(xy+g(y))=x+g'(y)=x \quad\Longrightarrow\quad g'(y)=0
e, sem perda, g(y)=0. Assim
\varphi(x,y)=xy.

Passo 3

O trabalho é dado pela diferença da potencial nos extremos:
W=\varphi(1,1)-\varphi(0,0)=1\cdot1-0\cdot0=1.

Resposta

1

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