Um trocador de calor contracorrente é utilizado para resfriar um gás quente usando ar ambiente.
Dados: Fluido quente: \dot{m}_{h}=3 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{h}}=1000 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}, \mathrm{T}_{\mathrm{h}, \text { ent }}=300^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}_{\mathrm{h}, \text { sai }}= 150^{\circ} \mathrm{C}.
Fluido frio: \dot{m}_{c}=6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, \mathrm{c}_{\mathrm{p}, \mathrm{c}}=1005 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, \mathrm{T}_{\mathrm{c}, \text { ent }}=25^{\circ} \mathrm{C}.
\mathrm{U}=300 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~K}.
Obtenha o valor de \mathrm{T}_{\mathrm{c}, \text { sai }}, \mathrm{a} área, e o que mudaria se fosse um trocador de calor paralelo e não mais contracorrente.

Passo 1

Vou listar de forma clara o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Fluido quente:
    • \dot{m}_{h}=3\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,h}=1000\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • T_{h,\mathrm{ent}}=300^\circ\mathrm{C}
    • T_{h,\mathrm{sai}}=150^\circ\mathrm{C}
  • Fluido frio:
    • \dot{m}_{c}=6\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,c}=1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}
    • T_{c,\mathrm{ent}}=25^\circ\mathrm{C}
    • T_{c,\mathrm{sai}} é desconhecido (é o que temos que encontrar).
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=300\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)}.
O enunciado pede:
  1. Encontrar \;T_{c,\mathrm{sai}}.
  2. Calcular a área A do trocador no caso contracorrente.
  3. Dizer o que muda (principalmente a área) se o trocador fosse de fluxo paralelo.

Passo 2

Primeiro princípio que vamos usar: balanço de energia (conservação de energia sem perdas). A potência térmica transferida Q do fluido quente para o frio é dada por:
Q=\dot{m}_{h}\,c_{p,h}\,(T_{h,\mathrm{ent}}-T_{h,\mathrm{sai}}).
Explicando: \dot{m}_{h} é a vazão mássica do quente (kg/s), c_{p,h} é o calor específico a pressão constante (J/kg·K) e (T_{h,\mathrm{ent}}-T_{h,\mathrm{sai}}) é a queda de temperatura do quente (K). O produto tem unidades de J/s = W, potência térmica retirada do quente.
Cálculo de Q:
Q=\dot{m}_{h}\,c_{p,h}\,(T_{h,\mathrm{ent}}-T_{h,\mathrm{sai}}) =3\cdot1000\cdot(300-150)\\ \mathrm{W}.
Faço a conta passo a passo:
300-150=150, \qquad 3\cdot1000=3000, \qquad Q=3000\cdot150=450000\\ \mathrm{W}.
Portanto
Q=450{,}000\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Agora uso o balanço de energia também no lado frio: a potência ganha pelo frio é
Q=\dot{m}_{c}\,c_{p,c}\,(T_{c,\mathrm{sai}}-T_{c,\mathrm{ent}}).
Como a transferência é a mesma (assumimos sem perdas), igualamos e resolvemos para T_{c,\mathrm{sai}}:
T_{c,\mathrm{sai}}=T_{c,\mathrm{ent}}+\frac{Q}{\dot{m}_{c}\,c_{p,c}}.
Substituindo números:
\dot{m}_{c}\,c_{p,c}=6\cdot1005=6030\\ \mathrm{J/K\cdot s},
\Delta T_{c}=\frac{Q}{\dot{m}_{c}\,c_{p,c}}=\frac{450000}{6030}\\ \mathrm{K}.
Faço a divisão (passo a passo):
\frac{450000}{6030}\approx74{,}627062\\ \mathrm{K}.
Logo
T_{c,\mathrm{sai}}=25^\circ\mathrm{C}+74{,}627062\\ \mathrm{K}=99{,}627062^\circ\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente:
T_{c,\mathrm{sai}}\approx99{,}63^\circ\mathrm{C}.
Comentário curto e motivador: já temos a primeira resposta — o ar aquece bastante porque a vazão dele é maior, mas o calor específico também é parecido; atenção: diferenças de temperatura em Celsius e Kelvin são numericamente iguais, então operar em °C aqui é seguro para diferenças.

Passo 4

Agora vamos calcular a área A usando a fórmula de transferência de calor para trocadores de calor:
Q=U\,A\,\Delta T_{\mathrm{LM}},
onde \Delta T_{\mathrm{LM}} é a Log Mean Temperature Difference (LMTD) adequada para o arranjo de fluxo. Explico o que é LMTD: em um trocador a diferença de temperatura entre os fluidos varia ao longo do comprimento; a LMTD é uma média logarítmica que representa a diferença de temperatura eficaz para uso na lei global Q=U A \Delta T. Para contracorrente (fluxos em sentidos opostos) a LMTD é:
\Delta T_{\mathrm{LM}}=\frac{\Delta T_{1}-\Delta T_{2}}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_{1}}{\Delta T_{2}}\big)},
onde
\Delta T_{1}=T_{h,\mathrm{ent}}-T_{c,\mathrm{sai}}, \qquad \Delta T_{2}=T_{h,\mathrm{sai}}-T_{c,\mathrm{ent}}.
Interpretação: \Delta T_{1} é a diferença na entrada do lado quente versus saída do frio (maior diferença), \Delta T_{2} é a diferença no outro extremo.

Passo 5

Calculemos as diferenças para o caso contracorrente (usei T_{c,\mathrm{sai}} calculado no Passo 3):
\Delta T_{1}=T_{h,\mathrm{ent}}-T_{c,\mathrm{sai}}=300-99{,}627062=200{,}372938\\ \mathrm{K},
\Delta T_{2}=T_{h,\mathrm{sai}}-T_{c,\mathrm{ent}}=150-25=125\\ \mathrm{K}.
Agora a LMTD:
\Delta T_{\mathrm{LM}}=\frac{200{,}372938-125}{\ln\!\big(\dfrac{200{,}372938}{125}\big)} =\frac{75{,}372938}{\ln(1{,}6029835)}.
Calculo do logaritmo natural:
\ln(1{,}6029835)\approx0{,}4721528.
Portanto
\Delta T_{\mathrm{LM}}\approx\frac{75{,}372938}{0{,}4721528}\approx159{,}635\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Com \Delta T_{\mathrm{LM}} em mãos, calculo a área:
A=\frac{Q}{U\,\Delta T_{\mathrm{LM}}} =\frac{450{,}000}{300\cdot159{,}635}.
Faço a conta:
300\cdot159{,}635=47{,}890{,}5, \qquad A=\frac{450{,}000}{47{,}890{,}5}\approx9{,}398\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando a dois algarismos significativos práticos:
A\approx9{,}40\\ \mathrm{m^{2}}.
Dica prática: em provas muitas vezes aceitam 9,4\\ \mathrm{m^{2}}. Guarde que trocador contracorrente precisa de menos área do que o paralelo (veremos a seguir).

Passo 7

Agora o que muda se o trocador for paralelo (fluxo no mesmo sentido)? Primeiro observe um ponto importante de física e de rotina de cálculo: se os valores de \;T_{h,\mathrm{ent}} e \;T_{h,\mathrm{sai}} forem dados e fixos (como aqui), a potência Q é fixada por esses dois e NÃO muda com o arranjo — portanto T_{c,\mathrm{sai}} obtido por balanço de energia também será o mesmo nos dois arranjos. Ou seja, a temperatura de saída do frio \;T_{c,\mathrm{sai}} permanece \approx99{,}63^\circ\mathrm{C}. O que muda é a LMTD e, consequentemente, a área A.
Para o arranjo paralelo a LMTD usa as mesmas fórmulas, mas as diferenças de extremidade mudam:
\Delta T_{1p}=T_{h,\mathrm{ent}}-T_{c,\mathrm{ent}}=300-25=275\\ \mathrm{K},
\Delta T_{2p}=T_{h,\mathrm{sai}}-T_{c,\mathrm{sai}}=150-99{,}627062=50{,}372938\\ \mathrm{K}.
A LMTD paralela é
\Delta T_{\mathrm{LM},p}=\frac{\Delta T_{1p}-\Delta T_{2p}}{\ln\!\big(\dfrac{\Delta T_{1p}}{\Delta T_{2p}}\big)} =\frac{275-50{,}372938}{\ln\!\big(\dfrac{275}{50{,}372938}\big)}.
Faço os cálculos:
275-50{,}372938=224{,}627062, \qquad \frac{275}{50{,}372938}\approx5{,}4562, \qquad \ln(5{,}4562)\approx1{,}69602.
Logo
\Delta T_{\mathrm{LM},p}\approx\frac{224{,}627062}{1{,}69602}\approx132{,}505\\ \mathrm{K}.
Agora a área no caso paralelo:
A_{p}=\frac{Q}{U\,\Delta T_{\mathrm{LM},p}} =\frac{450{,}000}{300\cdot132{,}505} \approx\frac{450{,}000}{39{,}751{,}5}\approx11{,}328\\ \mathrm{m^{2}}.
Arredondando:
A_{p}\approx11{,}33\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 8

Interpretação final e comparação (motivação para lembrar em provas):
  • A mesma potência Q foi trocada em ambos os arranjos porque \;T_{h,\mathrm{ent}} e \;T_{h,\mathrm{sai}} foram fixos. Por isso \;T_{c,\mathrm{sai}} ficou igual nos dois casos: \approx99{,}63^\circ\mathrm{C}.
  • A diferença é a LMTD: contracorrente tem \Delta T_{\mathrm{LM}}\approx159{,}64\\ \mathrm{K}, paralelo tem \Delta T_{\mathrm{LM},p}\approx132{,}51\\ \mathrm{K}. Maior LMTD → menor área necessária.
  • A área contracorrente A\approx9{,}40\\ \mathrm{m^{2}} é menor do que a paralela A_{p}\approx11{,}33\\ \mathrm{m^{2}}. Economicamente e construtivamente, contracorrente costuma ser preferido quando se quer maior aproveitamento térmico e menor área.
  • Percentual de economia de área aproximado:
\frac{A_{p}-A}{A_{p}}\approx\frac{11{,}33-9{,}40}{11{,}33}\approx0{,}169\approx16{,}9\%.
Ou seja, contracorrente requer cerca de 17\% menos área que paralelo neste caso específico.

Resposta

T_{c,\mathrm{sai}}\approx99{,}63^\circ\mathrm{C}
A_{\text{contracorrente}}\approx9{,}40\\ \mathrm{m^{2}}
A_{\text{paralela}}\approx11{,}33\\ \mathrm{m^{2}}

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