Calcule as integrais:
\int_{\pi}^{2 \pi} \operatorname{cosec}{ }^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{\pi}^{2\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta,
sabendo que \csc\theta=1/\sin\theta. Note que em \theta=\pi e \theta=2\pi temos \sin\theta=0, o que torna a integral imprópria nos limites de integração.

Passo 2

Encontramos a primitiva de \csc^{2}\theta. Como sabemos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\cot\theta\bigr)=-\csc^{2}\theta,
temos
\int \csc^{2}\theta\,d\theta=-\cot\theta + C.

Passo 3

Definimos a integral imprópria como limite
\int_{\pi}^{2\pi}\csc^{2}\theta\,d\theta =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\pi+\varepsilon}^{2\pi-\varepsilon}\csc^{2}\theta\,d\theta =\lim_{\varepsilon\to0^+}\Bigl[-\cot\theta\Bigr]_{\pi+\varepsilon}^{2\pi-\varepsilon}.

Passo 4

Avaliamo-mos o termo
-\cot(2\pi-\varepsilon)+\cot(\pi+\varepsilon).
Para \varepsilon\to0^+, temos \cot(\pi+\varepsilon)\approx\frac{\cos(\pi+\varepsilon)}{\sin(\pi+\varepsilon)}\sim\frac{-1}{-\varepsilon}=+\frac1\varepsilon\to+\infty
e \cot(2\pi-\varepsilon)\approx\frac{\cos(2\pi-\varepsilon)}{\sin(2\pi-\varepsilon)}\sim\frac{1}{-\varepsilon}=-\frac1\varepsilon,
logo -\cot(2\pi-\varepsilon)\sim +\frac1\varepsilon\to+\infty.
Somando os dois termos, o limite vai para +\infty.

Resposta

A integral diverge (não converge para valor finito).

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