Mostrar que os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}= \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{4}}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right] geram \mathbb{R}^{3} e encontrar uma base dentre os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}} e \boldsymbol{v}_{\mathbf{4}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os vetores \boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} e \boldsymbol{v}_{4}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} geram \mathbb{R}^3 e encontrar, entre eles, uma base. O conteúdo utilizado será: espaço gerado por vetores, posto de matriz e independência linear. Vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto por eliminação de Gauss.

Passo 2

Montamos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\\\ 1 & 2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}
e aplicamos eliminação de Gauss para triangularizar:
  1. Subtraímos a linha 1 da linha 2 e da linha 3, obtendo
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & -3 \\\\ 0 & 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}
  1. Subtraímos 2 vezes a nova linha 2 da linha 3, ficando
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 1 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 3 & 5 \end{pmatrix}

Passo 3

Na forma escalonada vemos três linhas não nulas, logo o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=3.
Como o posto da matriz de colunas é 3, o espaço gerado pelas colunas de A, isto é \text{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}, tem dimensão 3 e, portanto, é \mathbb{R}^3. Assim, os vetores geram \mathbb{R}^3.

Passo 4

Os pivôs apareceram nas colunas 1, 2 e 3 de A. Isso significa que \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.

Resposta

Uma base extraída de \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\} é
\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\}
ou seja
\left\{ \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},\, \begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} \right\}.

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