Mostrar que os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}= \left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{4}}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ 1\end{array}\right] geram \mathbb{R}^{3} e encontrar uma base dentre os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}} e \boldsymbol{v}_{\mathbf{4}}.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que os vetores \boldsymbol{v}_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_{3}=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix} e \boldsymbol{v}_{4}=\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix} geram \mathbb{R}^3 e encontrar, entre eles, uma base. O conteúdo utilizado será: espaço gerado por vetores, posto de matriz e independência linear. Vamos montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o posto por eliminação de Gauss.
Na forma escalonada vemos três linhas não nulas, logo o posto de A é
\operatorname{rank}(A)=3.
Como o posto da matriz de colunas é 3, o espaço gerado pelas colunas de A, isto é \text{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}, tem dimensão 3 e, portanto, é \mathbb{R}^3. Assim, os vetores geram \mathbb{R}^3.
Passo 4
Os pivôs apareceram nas colunas 1, 2 e 3 de A. Isso significa que \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3 são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^3.
Resposta
Uma base extraída de \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4\} é