Sejam os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right].
a) mostre que o conjunto B=\left\{\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}\right\} é uma base para \mathbb{R}^{3};
b) encontre as coordenadas do vetor \left[\begin{array}{l}5 \\\\ 4 \\\\ 2\end{array}\right] em relação à base B;
c) determinar o vetor \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{3}, em relação à base canônica, que seja igual ao vetor \boldsymbol{v}_{B}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 4\end{array}\right], dado em relação à base B.
Passo 1
O enunciado fornece os vetores \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
e pede:
a) mostrar que B=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} é base de \mathbb{R}^3;
b) encontrar as coordenadas de \begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix} na base B;
c) dado o vetor \boldsymbol{v}_B=(2,-3,4) em B, determinar seu representante na base canônica.
Para isso usaremos determinante para independência, solução de sistema linear para coordenadas relativas e combinação linear para conversão de coordenadas.
Passo 2
Para mostrar que B é base, formamos a matriz cujas colunas são \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3: