Sejam os vetores \boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right], \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right] e \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right].
a) mostre que o conjunto B=\left\{\boldsymbol{v}_{\mathbf{1}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{2}}, \boldsymbol{v}_{\mathbf{3}}\right\} é uma base para \mathbb{R}^{3};
b) encontre as coordenadas do vetor \left[\begin{array}{l}5 \\\\ 4 \\\\ 2\end{array}\right] em relação à base B;
c) determinar o vetor \boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^{3}, em relação à base canônica, que seja igual ao vetor \boldsymbol{v}_{B}=\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 4\end{array}\right], dado em relação à base B.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \boldsymbol{v}_1=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}, \boldsymbol{v}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}
e pede:
a) mostrar que B=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} é base de \mathbb{R}^3;
b) encontrar as coordenadas de \begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix} na base B;
c) dado o vetor \boldsymbol{v}_B=(2,-3,4) em B, determinar seu representante na base canônica.
Para isso usaremos determinante para independência, solução de sistema linear para coordenadas relativas e combinação linear para conversão de coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que B é base, formamos a matriz cujas colunas são \boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3:
P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 0\\\\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Como P é triangular superior,
\det(P)=1\cdot1\cdot1=1\neq0.
Logo os vetores são linearmente independentes e, sendo três vetores em \mathbb{R}^3, formam base.

Passo 3

Para achar as coordenadas de \begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix} na base B, buscamos a,b,c tais que
a\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema triangular:
a=5,\quad 2a+b=4\implies b=4-2\cdot5=-6,\quad 3a+2b+c=2\implies c=2-3\cdot5-2(-6)=-1.
Assim as coordenadas são (5,-6,-1) em B.

Passo 4

Para converter \boldsymbol{v}_B=(2,-3,4) para a base canônica, fazemos a combinação
\boldsymbol{v} =2\boldsymbol{v}_1 -3\boldsymbol{v}_2 +4\boldsymbol{v}_3 =2\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} -3\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix} +4\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix}.

Resposta

a) B é base de \mathbb{R}^3 pois \det(P)=1\neq0.
b) As coordenadas de \begin{pmatrix}5\\\ 4\\\ 2\end{pmatrix} em B são (5,-6,-1).
c) Em relação à base canônica, \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 4\end{pmatrix}.

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