Calcule as integrais:
\int_{1}^{8} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{8} \sqrt{x}\,dx
Isso é um caso de integrar uma função do tipo x^{n} com n=\tfrac12. Vamos usar a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Reescrevendo a integranda como potência, temos
\sqrt{x} = x^{\tfrac12},
portanto a antiderivada é
\int x^{\tfrac12}\,dx = \frac{x^{\tfrac12+1}}{\tfrac12+1} = \frac{x^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}.

Passo 3

Chamando
F(x) = \frac{2}{3}\,x^{\tfrac32},
a integral definida de 1 a 8 é
\int_{1}^{8} x^{\tfrac12}\,dx = F(8) - F(1).

Passo 4

Calculando cada termo:
F(8) = \frac{2}{3}\,8^{\tfrac32} \quad\text{e}\quad F(1) = \frac{2}{3}\,1^{\tfrac32}.
Como
8^{\tfrac32} = \bigl(\sqrt{8}\bigr)^{3} = (2\sqrt2)^{3} = 16\sqrt2
e 1^{3/2}=1, segue
F(8) - F(1) = \frac{2}{3}\bigl(16\sqrt2\bigr) - \frac{2}{3}\bigl(1\bigr) = \frac{2}{3}\,(16\sqrt2 - 1).

Passo 5

Bast a simplificar o fator 2:
\frac{2}{3}\,(16\sqrt2 - 1) = \frac{32\sqrt2 - 2}{3}.

Resposta

\int_{1}^{8} \sqrt{x}\,dx = \frac{32\sqrt2 - 2}{3}.

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