Calcule as seguintes integrais indefinidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes do enunciado:
Não há outras condições fornecidas; queremos uma primitiva (função cuja derivada é a integranda), mais a constante de integração
.
Passo 2
Vamos fazer uma substituição que simplifica a presença de
. Defina a nova variável
Expliquei: aqui eu troco a variável
por
de modo que a exponencial fique simplesmente
. Agora precisamos relacionar
com
.
Passo 3
A partir de
temos
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Também note que
, então o denominador
vira
. Substituindo tudo na integral original:
Passo 4
No integrando os fatores
se cancelam:
Logo a integral fica
Agora aplicamos a regra básica de integração: a primitiva de
em relação a
é
(porque derivando
volta
). Assim
Passo 5
Voltando à variável original
(isto é, substituindo
de volta), obtemos a primitiva buscada:
Comentário sobre domínio: a manipulação exigiu
e a divisão por
na integranda original, então a expressão faz sentido para
(podemos estender por continuidade em certos casos, mas para a prova considerar
é seguro).
Passo 6
Verificação (checagem rápida por diferenciação): calcule a derivada de
. Pela regra da cadeia,
que é exatamente a integranda. Isso confirma que a primitiva está correta.