Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(1,0 \mathrm{pts}) \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx.
Informações relevantes do enunciado:
\text{A integranda envolve }\sqrt{x}\text{, portanto consideramos }x\ge 0.
Não há outras condições fornecidas; queremos uma primitiva (função cuja derivada é a integranda), mais a constante de integração C.

Passo 2

Vamos fazer uma substituição que simplifica a presença de \sqrt{x}. Defina a nova variável
u=\sqrt{x}.
Expliquei: aqui eu troco a variável x por u de modo que a exponencial fique simplesmente e^{u}. Agora precisamos relacionar dx com du.

Passo 3

A partir de u=\sqrt{x} temos x=u^{2}. Diferenciando ambos os lados em relação a u,
\frac{dx}{du}=2u \quad\Rightarrow\quad dx=2u\,du.
Também note que \sqrt{x}=u, então o denominador 2\sqrt{x} vira 2u. Substituindo tudo na integral original:
\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\,dx = \int \frac{e^{u}}{2u}\cdot (2u\,du).

Passo 4

No integrando os fatores 2u se cancelam:
\frac{e^{u}}{2u}\cdot (2u)=e^{u}.
Logo a integral fica
\int e^{u}\,du.
Agora aplicamos a regra básica de integração: a primitiva de e^{u} em relação a u é e^{u} (porque derivando e^{u} volta e^{u}). Assim
\int e^{u}\,du = e^{u}+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (isto é, substituindo u=\sqrt{x} de volta), obtemos a primitiva buscada:
e^{u}+C = e^{\sqrt{x}}+C.
Comentário sobre domínio: a manipulação exigiu \sqrt{x} e a divisão por \sqrt{x} na integranda original, então a expressão faz sentido para x>0 (podemos estender por continuidade em certos casos, mas para a prova considerar x>0 é seguro).

Passo 6

Verificação (checagem rápida por diferenciação): calcule a derivada de e^{\sqrt{x}}+C. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{\sqrt{x}}\bigr)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{d}{dx}(\sqrt{x})=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}},
que é exatamente a integranda. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

e^{\sqrt{x}}+C

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