Calcule as integrais:
\int \sqrt[4]{x^{5}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sqrt[4]{x^{5}}\,dx.
Este é um caso de integral de função potência; vamos usar a regra
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,\quad n\neq -1.

Passo 2

Reescrevendo o radicando como potência, temos
\sqrt[4]{x^{5}} = (x^{5})^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}}.

Passo 3

Aplicando a regra da integral de potência com n=\tfrac{5}{4}, obtemos
\int x^{\frac{5}{4}}\,dx = \frac{x^{\frac{5}{4}+1}}{\frac{5}{4}+1} + C = \frac{x^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} + C.

Passo 4

Para simplificar, note que
\frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9},
logo a primitiva fica
\frac{4}{9}\,x^{\frac{9}{4}} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}\,x^{\frac{9}{4}} + C

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