5- Em um circuito LC oscilante com C =32 \mu F, a corrente é dada por \mathrm{i}=(1,6) \cdot \operatorname{sen}(2500 \mathrm{t}+ 0,68 ), em que t está em segundos, i está em ampères e a constante de fase está em
radianos. (\mathbf{0 , 4})
a) Quanto tempo após o instante \mathrm{t}=0 a corrente atinge o valor máximo?
b) Qual é o valor da indutância L?
c) Qual é a energia total?

Passo 1

O enunciado trata de um circuito LC sem resistência em que a capacitância é C = 32\times10^{-6} F e a corrente varia segundo
i(t)=1{,}6\sin\bigl(2500\,t+0,68\bigr).
Precisamos:
– (a) determinar o instante após t=0 em que i atinge o valor máximo;
– (b) calcular a indutância L usando a relação entre frequência angular e os valores de L e C;
– (c) encontrar a energia total armazenada no circuito.

Passo 2

Para i(t) ser máximo, o seno deve valer +1. Logo queremos
2500\,t + 0,68 = \frac{\pi}{2}.
Isolando t:
t = \frac{\frac{\pi}{2} - 0,68}{2500}.
Numericamente, \tfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708, então
t \approx \frac{1{,}5708 - 0{,}68}{2500} = \frac{0{,}8908}{2500} \approx 3{,}56 \times 10^{-4}\text{ s}.

Passo 3

Num circuito LC ideal a frequência angular satisfaz
\omega = \frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
Aqui \omega=2500 rad/s e C=32\times10^{-6} F, então
L = \frac{1}{\omega^2\,C} = \frac{1}{(2500)^2\cdot 32\times10^{-6}} = \frac{1}{6{,}25\times10^6\cdot32\times10^{-6}} = \frac{1}{200} = 5\times10^{-3}\text{ H}.

Passo 4

A energia total W no circuito oscila entre energia elétrica no capacitor e magnética na bobina, mas seu valor constante é
W = \frac12\,L\,I_{\max}^2,
onde I_{\max}=1{,}6 A. Assim
W = \frac12 \cdot 5\times10^{-3}\cdot(1{,}6)^2 = 0{,}5\times10^{-2}\cdot2{,}56 = 0{,}0064\text{ J}.

Resposta

(a) t \approx 3{,}56\times10^{-4} s
(b) L = 5{,}0\times10^{-3} H
(c) W = 6{,}4\times10^{-3} J

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