Calcule as integrais:
\int\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}+1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int\bigl(x^2 + 1 + \tfrac{1}{x^2+1}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de termos, usando a regra de linearidade e integrais básicas: \int x^2\,dx, \int 1\,dx e \int \frac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 2

Pela linearidade,
\int\bigl(x^2 + 1 + \tfrac{1}{x^2+1}\bigr)\,dx = \int x^2\,dx \;+\; \int 1\,dx \;+\; \int \tfrac{1}{x^2+1}\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int x^2\,dx. Pela regra de potência \int x^n\,dx = \tfrac{x^{n+1}}{n+1}, com n=2, vem
\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int 1\,dx. É integral de constante, logo
\int 1\,dx = x.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \frac{1}{x^2+1}\,dx. Reconhecemos a derivada de \arctan(x), pois \tfrac{d}{dx}[\arctan(x)] = \tfrac{1}{x^2+1}. Assim,
\int \frac{1}{x^2+1}\,dx = \arctan(x).

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(x^2 + 1 + \tfrac{1}{x^2+1}\bigr)\,dx = \frac{x^3}{3} + x + \arctan(x) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^3}{3} + x + \arctan(x) + C

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