Calcule as integrais:
\int\left(\cos x+\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da soma de funções, ou seja,
\int\Bigl(\cos x + \frac{x}{2}\Bigr)\,dx.
Vamos usar que a integral de uma soma é a soma das integrais e que conhecer as primitivas de \cos x e de potências de x (regra do polinômio) é suficiente.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em duas parcelas:
\int\Bigl(\cos x + \frac{x}{2}\Bigr)\,dx = \int \cos x\,dx \;+\;\int \frac{x}{2}\,dx.

Passo 3

A primitiva de \cos x é \sin x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\bigr)=\cos x.
Logo,
\int \cos x\,dx = \sin x.

Passo 4

Para \displaystyle \int \frac{x}{2}\,dx, fatoramos a constante \tfrac12:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac12 \int x\,dx.
Usando a regra do polinômio \int x\,dx = \tfrac{x^2}{2}, temos
\frac12 \int x\,dx = \frac12 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.

Passo 5

Somando as duas parcelas e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
\sin x + \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\sin x + \frac{x^2}{4} + C

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