Calcule as integrais.
\int t g^{2}(\theta) \operatorname{cossec}^{2}(\theta) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \tan^{2}(\theta)\,\csc^{2}(\theta)\,d\theta.
Informações dadas: a variável de integração é \theta e o integrando é \tan^{2}(\theta)\csc^{2}(\theta). Não há outras condições (constantes, limites etc.), então buscamos a primitiva geral (com constante C).

Passo 2

Vamos recordar definições e fórmulas úteis (tudo explicadinho):
  • A tangente e a cossecante em termos de seno e cosseno:
\tan(\theta)=\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)},\qquad \csc(\theta)=\frac{1}{\sin(\theta)},\qquad \operatorname{sec}(\theta)=\frac{1}{\cos(\theta)}.
  • Derivadas trigonométricas importantes (úteis para integrar):
\frac{d}{d\theta}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta),\qquad \frac{d}{d\theta}\cot(\theta)=-\csc^{2}(\theta).
Isto significa que, se na integral aparecer \operatorname{sec}^{2}(\theta), a primitiva imediata é \tan(\theta) (mais uma constante). Vou usar isso mais adiante.

Passo 3

Simplificamos o integrando escrevendo tudo em seno e cosseno e cancelando:
\tan^{2}(\theta)\,\csc^{2}(\theta)=\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{\sin(\theta)}\right)^{2}.
Agora calculamos passo a passo:
\left(\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{\sin(\theta)}\right)^{2} =\frac{\sin^{2}(\theta)}{\cos^{2}(\theta)}\cdot\frac{1}{\sin^{2}(\theta)}.
As \sin^{2}(\theta) no numerador e no denominador se cancelam, sobrando
\frac{1}{\cos^{2}(\theta)}=\operatorname{sec}^{2}(\theta).
Portanto a integral fica mais simples:
\int \tan^{2}(\theta)\,\csc^{2}(\theta)\,d\theta=\int \operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta.

Passo 4

Usamos a relação entre derivada e primitiva mencionada no Passo 2. Como
\frac{d}{d\theta}\tan(\theta)=\operatorname{sec}^{2}(\theta),
temos diretamente
\int \operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta=\tan(\theta)+C,
onde C é a constante de integração. Alternativa (para entender a técnica): fazer a substituição u=\tan(\theta) du=\operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta, então \int \operatorname{sec}^{2}(\theta)\,d\theta=\int du=u+C=\tan(\theta)+C.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando o resultado:
\frac{d}{d\theta}\big(\tan(\theta)+C\big)=\operatorname{sec}^{2}(\theta),
que é exatamente o integrando simplificado do Passo 3, logo está correto.

Passo 6

Dica prática para a prova: ao ver produtos de funções trigonométricas como \tan e \csc, escreva em \sin e \cos — muitas vezes há cancelamento que transforma tudo em uma função cuja primitiva você conhece (aqui virou \operatorname{sec}^{2}, cuja primitiva é \tan). Respira fundo, simplifica e lembra dos resultados de derivadas básicas.

Resposta

\tan(\theta)+C

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