Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a variável de integração é
e o integrando é
. Não há outras condições (constantes, limites etc.), então buscamos a primitiva geral (com constante
).
Passo 2
Vamos recordar definições e fórmulas úteis (tudo explicadinho):
- A tangente e a cossecante em termos de seno e cosseno:
- Derivadas trigonométricas importantes (úteis para integrar):
Isto significa que, se na integral aparecer
, a primitiva imediata é
(mais uma constante). Vou usar isso mais adiante.
Passo 3
Simplificamos o integrando escrevendo tudo em seno e cosseno e cancelando:
Agora calculamos passo a passo:
As
no numerador e no denominador se cancelam, sobrando
Portanto a integral fica mais simples:
Passo 4
Usamos a relação entre derivada e primitiva mencionada no Passo 2. Como
temos diretamente
onde
é a constante de integração. Alternativa (para entender a técnica): fazer a substituição
dá
, então
.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): derivando o resultado:
que é exatamente o integrando simplificado do Passo 3, logo está correto.
Passo 6
Dica prática para a prova: ao ver produtos de funções trigonométricas como
e
, escreva em
e
— muitas vezes há cancelamento que transforma tudo em uma função cuja primitiva você conhece (aqui virou
, cuja primitiva é
). Respira fundo, simplifica e lembra dos resultados de derivadas básicas.