Questão 1 Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
e
é o disco
no plano
, orientado para cima.
□ 1
□
□
□
□ 0
□ 1
□
□
□
□ 0
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
e
é o disco
no plano
, orientado para cima.
Informações relevantes dadas:
- A superfície
é o disco fechado de raio no plano : . - A orientação “para cima” indica a normal escolhida tem componente
(vetor normal apontando para ). - A integral solicitada é a integral de superfície do rotacional de
sobre .
Passo 2
Vou aplicar o enunciado (usar o Teorema de Stokes). Primeiro, escrever o enunciado do teorema de forma prática:
onde
é a curva fronteira de
orientada de acordo com a regra da mão direita relativa à orientação de
. Explicando só as partes:
-
é o rotacional de . -
é o elemento vetorial de superfície com a orientação dada. -
é a curva limite do disco; neste caso é o círculo . - A orientação “para cima” do disco corresponde a orientar
no sentido anti-horário quando se olha de cima (sentido positivo padrão).
Duas maneiras diretas a usar com Stokes:
- Calcular
e integrar sobre . - Calcular a integral de linha
usando uma parametrização da fronteira.
Vou fazer as duas (primeiro o rotacional, que é curto; depois um cálculo rápido da integral de linha como checagem).
Passo 3
Calcular o rotacional
. Lembrando a definição, para
,
Aqui
,
,
. Calculemos cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
isto é, o rotacional é o vetor nulo em todo espaço.]
Passo 4
Com
vale imediatamente que o integrando é zero em
. Logo
Isso já resolve o problema. Vou fazer uma checagem alternativa usando o lado direito de Stokes (integral de linha) só para reforçar a intuição.
Fronteira
é o círculo
. Parametrização padrão:
Então
Em
temos
(pegando
em
). Com a parametrização:
O produto escalar
é
A integral de linha é
pois
. (Observação: igual resultado seria obtido notando que
e a integral de um diferencial exato sobre curva fechada é zero.)
Essa checagem confirma o resultado obtido pelo rotacional.
Passo 5
Conclusão final: usando Stokes (ou observando que o rotacional é zero) a integral de superfície vale
. Manda ver na prova — essa é daquelas que se resolve rápido se lembrar de checar o rotacional; você já ganhou um ponto! Força aí.