Questão 1 Use o Teorema de Stokes para calcular
\iint_{S}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S},
onde
\vec{F}(x, y, z)=(y z, x z, x y)
e S é o disco x^{2}+y^{2} \leq 1 no plano z=1, orientado para cima.
□ 1
2 \pi
\pi
-2 \pi
□ 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\iint_{S}(\nabla \times \vec{F}) \cdot d \vec{S},
onde
\vec{F}(x,y,z)=(y z,\; x z,\; x y)
e S é o disco \;x^{2}+y^{2}\le 1\; no plano z=1, orientado para cima.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é o disco fechado de raio 1 no plano z=1: \{(x,y,1)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • A orientação “para cima” indica a normal escolhida tem componente +z (vetor normal apontando para +\hat{k}).
  • A integral solicitada é a integral de superfície do rotacional de \vec{F} sobre S.

Passo 2

Vou aplicar o enunciado (usar o Teorema de Stokes). Primeiro, escrever o enunciado do teorema de forma prática:
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} \;=\; \oint_{\partial S} \vec{F}\cdot d\vec{r},
onde \partial S é a curva fronteira de S orientada de acordo com a regra da mão direita relativa à orientação de S. Explicando só as partes:
  • \nabla\times\vec{F} é o rotacional de \vec{F}.
  • d\vec{S} é o elemento vetorial de superfície com a orientação dada.
  • \partial S é a curva limite do disco; neste caso é o círculo \;x^{2}+y^{2}=1,\; z=1\;.
  • A orientação “para cima” do disco corresponde a orientar \partial S no sentido anti-horário quando se olha de cima (sentido positivo padrão).
Duas maneiras diretas a usar com Stokes:
  1. Calcular \nabla\times\vec{F} e integrar sobre S.
  2. Calcular a integral de linha \oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} usando uma parametrização da fronteira.
Vou fazer as duas (primeiro o rotacional, que é curto; depois um cálculo rápido da integral de linha como checagem).

Passo 3

Calcular o rotacional \nabla\times\vec{F}. Lembrando a definição, para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z),
\nabla\times\vec{F} = \begin{pmatrix} \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\\[6pt] \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\\[6pt] \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \end{pmatrix}.
Aqui F_x=y z, F_y=x z, F_z=x y. Calculemos cada componente:
  • Primeira componente:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} = \frac{\partial (x y)}{\partial y}-\frac{\partial (x z)}{\partial z} = x - x = 0.
  • Segunda componente:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial (y z)}{\partial z}-\frac{\partial (x y)}{\partial x} = y - y = 0.
  • Terceira componente:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} = \frac{\partial (x z)}{\partial x}-\frac{\partial (y z)}{\partial y} = z - z = 0.
Portanto
\nabla\times\vec{F} = (0,\;0,\;0),
isto é, o rotacional é o vetor nulo em todo espaço.]

Passo 4

Com \nabla\times\vec{F}=\vec{0} vale imediatamente que o integrando é zero em S. Logo
\iint_{S}(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} \;=\; \iint_{S} \vec{0}\cdot d\vec{S} \;=\; 0.
Isso já resolve o problema. Vou fazer uma checagem alternativa usando o lado direito de Stokes (integral de linha) só para reforçar a intuição.
Fronteira \partial S é o círculo \;x^{2}+y^{2}=1,\; z=1\;. Parametrização padrão:
\vec{r}(t)=(\cos t,\;\sin t,\;1),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Então
d\vec{r}=(-\sin t,\;\cos t,\;0)\,dt.
Em z=1 temos \vec{F}=(y,\;x,\;xy) (pegando z=1 em \vec{F}). Com a parametrização:
\vec{F}(\vec{r}(t))=(\sin t,\;\cos t,\;\cos t\sin t).
O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} é
\vec{F}\cdot d\vec{r} = (\sin t)(-\sin t)\,dt + (\cos t)(\cos t)\,dt + (\cos t\sin t)\cdot 0\,dt = (-\sin^{2}t + \cos^{2}t)\,dt.
A integral de linha é
\oint_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r} = \int_{0}^{2\pi} (-\sin^{2}t + \cos^{2}t)\,dt = \int_{0}^{2\pi} \cos 2t \,dt = 0,
pois \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos 2t\,dt = 0. (Observação: igual resultado seria obtido notando que \vec{F}\cdot d\vec{r}=y\,dx+x\,dy=d(xy) e a integral de um diferencial exato sobre curva fechada é zero.)
Essa checagem confirma o resultado obtido pelo rotacional.

Passo 5

Conclusão final: usando Stokes (ou observando que o rotacional é zero) a integral de superfície vale 0. Manda ver na prova — essa é daquelas que se resolve rápido se lembrar de checar o rotacional; você já ganhou um ponto! Força aí.

Resposta

0

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