Calcule as integrais:
\int x \operatorname{sen}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Em símbolos:
\text{Calcular } \int x\,\operatorname{sen}^{2}x\,dx.
Informações e dados fornecidos:
  • A integral é indefinida (não há limites).
  • O integrando é x multiplicado por \operatorname{sen}^{2}x (ou seja, x\sin^{2}x).

Passo 2

Escolha do método (explicação didática):
Aqui temos um produto entre um polinômio em x e uma função trigonométrica ao quadrado. Um caminho clássico é usar a identidade trigonométrica que transforma \sin^{2}x numa soma de termos mais fáceis de integrar, e depois tratar o termo que sobra com integração por partes se necessário.
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
  • Identidade do ângulo duplo que transforma o quadrado do seno: \sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}.Origem: da fórmula \cos 2x=1-2\sin^{2}x, isolando \sin^{2}x.
  • Fórmula de integração por partes: \int u\,dv = u v - \int v\,du,onde u e v são funções de x. Explicação: escolhe-se u para que sua derivada du seja mais simples, e dv para que possamos integrar facilmente e obter v.

Passo 3

Aplicando a identidade para \sin^{2}x. Substituindo na integral:
\sin^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},
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\int x\sin^{2}x\,dx = \int x\cdot\frac{1-\cos 2x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx - \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx.
Agora temos duas integrais mais simples: \int x\,dx e \int x\cos 2x\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira integral \int x\,dx:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora:
\frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{4}.

Passo 5

Calcular a segunda integral \int x\cos 2x\,dx usando integração por partes.
Escolhas (motivação): escolhe-se u=x porque sua derivada é simples, e dv=\cos 2x\,dx porque sabemos integrar \cos 2x.
Definindo:
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \cos 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \int \cos 2x\,dx = \frac{1}{2}\sin 2x,
pois \int \cos ax\,dx = \frac{1}{a}\sin ax.
Aplicando \int u\,dv = u v - \int v\,du:
\int x\cos 2x\,dx = x\cdot\frac{1}{2}\sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x\,dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \int \sin 2x\,dx:
\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x,
pois \int \sin ax\,dx = -\frac{1}{a}\cos ax.
Substituindo na expressão do Passo 5:
\int x\cos 2x\,dx = \frac{x}{2}\sin 2x - \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = \frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x + C.
(Nota: o +C pode ser deixado apenas na resposta final; aqui é só a primitiva geral daquela parte.)

Passo 7

Voltar à decomposição do Passo 3:
\int x\sin^{2}x\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx - \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx.
Substituindo os resultados dos Passos 4 e 6 (sem esquecer o fator -\tfrac{1}{2} à frente da segunda integral):
\int x\sin^{2}x\,dx = \frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}\sin 2x + \frac{1}{4}\cos 2x\right).
Fazendo a distribuição e simplificando os coeficientes:
\int x\sin^{2}x\,dx = \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4}\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x + C',
onde C' é a constante de integração.

Passo 8

Observações finais e formas alternativas (úteis na prova): usar \sin 2x = 2\sin x\cos x se preferir uma expressão com \sin x e \cos x. Por exemplo,
\frac{x}{4}\sin 2x = \frac{x}{4}\cdot 2\sin x\cos x = \frac{x}{2}\sin x\cos x.
Mas a forma com \sin 2x e \cos 2x é compacta e correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{4} - \frac{x}{4}\sin 2x - \frac{1}{8}\cos 2x + C

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