Calcule as integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a primitiva (integração indefinida) da função dada. Em símbolos:
Informações e dados fornecidos:
- A integral é indefinida (não há limites).
- O integrando é
multiplicado por (ou seja, ).
Passo 2
Escolha do método (explicação didática):
Aqui temos um produto entre um polinômio em e uma função trigonométrica ao quadrado. Um caminho clássico é usar a identidade trigonométrica que transforma
numa soma de termos mais fáceis de integrar, e depois tratar o termo que sobra com integração por partes se necessário.
Aqui temos um produto entre um polinômio em
Fórmulas que vamos usar (explicadas):
- Identidade do ângulo duplo que transforma o quadrado do seno:
Origem: da fórmula , isolando . - Fórmula de integração por partes:
onde e são funções de . Explicação: escolhe-se para que sua derivada seja mais simples, e para que possamos integrar facilmente e obter .
Passo 3
Aplicando a identidade para
. Substituindo na integral:
logo
Agora temos duas integrais mais simples:
e
.
Passo 4
Calcular a primeira integral
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 5
Calcular a segunda integral
usando integração por partes.
Escolhas (motivação): escolhe-se
porque sua derivada é simples, e
porque sabemos integrar
.
Definindo:
pois
.
Aplicando
:
Passo 6
Calcular a integral restante
:
pois
.
Substituindo na expressão do Passo 5:
(Nota: o
pode ser deixado apenas na resposta final; aqui é só a primitiva geral daquela parte.)
Passo 7
Voltar à decomposição do Passo 3:
Substituindo os resultados dos Passos 4 e 6 (sem esquecer o fator
à frente da segunda integral):
Fazendo a distribuição e simplificando os coeficientes:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Observações finais e formas alternativas (úteis na prova): usar
se preferir uma expressão com
e
. Por exemplo,
Mas a forma com
e
é compacta e correta.