Calcule as integrais:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações importantes dadas no enunciado:
- A função a integrar é o produto de
(uma função polinomial simples) por (função trigonométrica). - Não há limites: é uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração
. - Deve-se retornar a primitiva em termos de
.
Passo 2
Ideia do método e fórmula necessária (explicada de forma didática). Vou usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
onde
e
são escolhas de funções dependentes de
;
é a derivada de
vezes
e
é uma primitiva de
. Em palavras: escolhe-se
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que é fácil de integrar.
Escolha prática para este problema:
- Tomar
. Então (porque a derivada de em relação a é ). - Tomar
. Preciso então de , ou seja, uma primitiva de .
Observação útil (lembrando derivadas básicas): a derivada de
é
. Em fórmulas:
Assim, uma primitiva de
é
. Portanto
.
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes com as escolhas acima:
Explicando: substitui-se
,
e
. O problema reduziu-se a calcular
. Agora vamos obter esse termo restante de forma didática.
Passo 4
Como calcular
— técnica padrão (truque do multiplicador):
Multiplica-se integrando por para permitir uma substituição conveniente:
Multiplica-se integrando por
Agora observe a derivada de
:
Note que o numerador que apareceu na integral anterior é exatamente
, que é igual a
. Portanto podemos fazer a substituição direta:
coloque . Então
, que é exatamente o numerador
.
coloque
Assim a integral fica
Explicando em palavras: após a multiplicação e reconhecimento da derivada, transforma-se a integral em uma forma
cuja primitiva é o logaritmo natural do valor absoluto.
Passo 5
Voltar ao resultado obtido no Passo 3: substituindo a primitiva de
no resultado por partes,
onde
é a constante de integração.