Calcule as integrais:
\int x \operatorname{sec} x \tan x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int x\operatorname{sec} x\tan x\,dx.
Informações importantes dadas no enunciado:
  • A função a integrar é o produto de x (uma função polinomial simples) por \operatorname{sec} x\tan x (função trigonométrica).
  • Não há limites: é uma integral indefinida, então o resultado terá uma constante de integração C.
  • Deve-se retornar a primitiva em termos de x.

Passo 2

Ideia do método e fórmula necessária (explicada de forma didática). Vou usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas de funções dependentes de x; du é a derivada de u vezes dx e v é uma primitiva de dv. Em palavras: escolhe-se u como a parte que fica mais simples ao derivar, e dv como a parte que é fácil de integrar.
Escolha prática para este problema:
  • Tomar u = x. Então du = dx (porque a derivada de x em relação a x é 1).
  • Tomar dv = \operatorname{sec} x\tan x\,dx. Preciso então de v, ou seja, uma primitiva de \operatorname{sec} x\tan x.
Observação útil (lembrando derivadas básicas): a derivada de \operatorname{sec} x é \operatorname{sec} x\tan x. Em fórmulas:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x) = \operatorname{sec} x\tan x.
Assim, uma primitiva de \operatorname{sec} x\tan x é \operatorname{sec} x. Portanto v=\operatorname{sec} x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes com as escolhas acima:
\int x\operatorname{sec} x\tan x\,dx = u v - \int v\,du = x\operatorname{sec} x - \int \operatorname{sec} x\,dx.
Explicando: substitui-se u=x, v=\operatorname{sec} x e du=dx. O problema reduziu-se a calcular \int \operatorname{sec} x\,dx. Agora vamos obter esse termo restante de forma didática.

Passo 4

Como calcular \displaystyle \int \operatorname{sec} x\,dx — técnica padrão (truque do multiplicador):
Multiplica-se integrando por \dfrac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x} para permitir uma substituição conveniente:
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \operatorname{sec} x\cdot\frac{\operatorname{sec} x+\tan x}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx = \int \frac{\operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)}{\operatorname{sec} x+\tan x}\,dx.
Agora observe a derivada de \operatorname{sec} x+\tan x:
\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x+\tan x) = \operatorname{sec} x\tan x + \operatorname{sec}^2 x = \operatorname{sec} x(\tan x + \operatorname{sec} x).
Note que o numerador que apareceu na integral anterior é exatamente \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x), que é igual a \dfrac{d}{dx}(\operatorname{sec} x+\tan x). Portanto podemos fazer a substituição direta:
coloque t=\operatorname{sec} x+\tan x. Então dt = \operatorname{sec} x(\tan x+\operatorname{sec} x)\,dx, que é exatamente o numerador \operatorname{sec} x(\operatorname{sec} x+\tan x)\,dx.
Assim a integral fica
\int \operatorname{sec} x\,dx = \int \frac{dt}{t} = \ln|t| + C = \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C.
Explicando em palavras: após a multiplicação e reconhecimento da derivada, transforma-se a integral em uma forma \int \frac{dt}{t} cuja primitiva é o logaritmo natural do valor absoluto.

Passo 5

Voltar ao resultado obtido no Passo 3: substituindo a primitiva de \operatorname{sec} x no resultado por partes,
\int x\operatorname{sec} x\tan x\,dx = x\operatorname{sec} x - \int \operatorname{sec} x\,dx = x\operatorname{sec} x - \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x\operatorname{sec} x - \ln|\operatorname{sec} x+\tan x| + C

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