Calcule usando a regra 1 / 3 de Simpson:
\quad \int_{0}^{4}\left(1+x^{2}\right)^{-1 / 2} d x \quad para \mathrm{n}=4

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{0}^{4}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx
usando a regra de Simpson 1/3 com n=4.
Para isso precisamos dividir o intervalo [0,4] em 4 subintervalos de largura igual e aplicar a fórmula de Simpson.

Passo 2

Calculamos a largura de cada subintervalo:
h = \frac{b-a}{n} = \frac{4-0}{4} = 1.
Os pontos de amostragem são
x_0 = 0,\; x_1 = 1,\; x_2 = 2,\; x_3 = 3,\; x_4 = 4.

Passo 3

Definimos f(x) = (1+x^2)^{-1/2} e avaliamos em cada x_i:
f_0 = f(0) = 1,\quad f_1 = f(1) = \frac{1}{\sqrt{2}}\approx0,7071,
f_2 = f(2) = \frac{1}{\sqrt{5}}\approx0,4472,\quad f_3 = f(3) = \frac{1}{\sqrt{10}}\approx0,3162,
f_4 = f(4) = \frac{1}{\sqrt{17}}\approx0,2425.

Passo 4

A fórmula de Simpson 1/3 para n=4 é
\int_{0}^{4}f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\bigl(f_0 + 4f_1 + 2f_2 + 4f_3 + f_4\bigr).
Substituindo h=1 e os valores de f_i:
\frac{1}{3}\bigl(1 + 4\cdot0,7071 + 2\cdot0,4472 + 4\cdot0,3162 + 0,2425\bigr).

Passo 5

Calculando o somatório interno:
1 + 4\cdot0,7071 = 3,8284,\quad 2\cdot0,4472 = 0,8944,\quad 4\cdot0,3162 = 1,2648,
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1 + 2,8284 + 0,8944 + 1,2648 + 0,2425 = 6,2301.
Multiplicando por \tfrac{1}{3}
\frac{6,2301}{3}\approx2,0767.

Resposta

A aproximação pelo método de Simpson 1/3 com n=4 é aproximadamente 2,0767.

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