Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2 x}\left(x+3 x^{2}+x y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2-2x}\left(x+3x^{2}+xy\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de x é [0,1].
  • Para cada x, o intervalo de y é [0,\,2-2x].
  • A função integranda é x+3x^{2}+xy.
    A tarefa é primeiro integrar em y (integral interna) e depois em x (integral externa).

Passo 2

Vamos integrar primeiro em y. Ao integrar em y, x e x^{2} são constantes (porque são funções de x apenas). Lembrando as fórmulas básicas de integração que vamos usar:
\int a\,dy = a\,y\quad\text{(se \(a\) é constante em relação a \(y\))},éçã
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
Aplicaremos essas regras termo a termo na expressão x+3x^{2}+xy.

Passo 3

Calcule a integral interna:
\int_{0}^{2-2x}\left(x+3x^{2}+xy\right)\,dy = \left[ x\,y + 3x^{2}\,y + x\cdot\frac{y^{2}}{2} \right]_{y=0}^{y=2-2x}.
Agora avaliaremos em y=2-2x e subtrairemos o valor em y=0 (que será zero para todos os termos).

Passo 4

Avaliar em y=2-2x. Para simplificar, observe que 2-2x=2(1-x). Então:
x(2-2x)=2x-2x^{2},
3x^{2}(2-2x)=6x^{2}-6x^{3},
\frac{x}{2}(2-2x)^{2}=\frac{x}{2}\cdot 4(1-x)^{2}=2x(1-2x+x^{2})=2x-4x^{2}+2x^{3}.
Somando os três resultados:
(2x-2x^{2})+(6x^{2}-6x^{3})+(2x-4x^{2}+2x^{3}) =4x \;+\;(-2x^{2}+6x^{2}-4x^{2})\;+\;(-6x^{3}+2x^{3}).
Simplificando os coeficientes:
4x + 0\cdot x^{2} -4x^{3} = 4x -4x^{3}.
Portanto a integral interna reduz-se a 4x-4x^{3}.

Passo 5

Agora integramos em x no intervalo [0,1]:
\int_{0}^{1}(4x-4x^{3})\,dx = 4\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{3}\bigr)\,dx.
Usando a regra da potência \int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, obtemos uma primitiva:
4\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4}\right)=4\left(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{4}x^{4}\right).
Avalia em 0 e 1:
4\left(\frac{1}{2}\cdot 1^{2}-\frac{1}{4}\cdot 1^{4}\right)-4\left(0\right) =4\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=4\cdot\frac{1}{4}=1.

Resposta

1

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