Calcule as integrais:
\int x \operatorname{sec} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\operatorname{sec} x^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x\operatorname{sec} x^{2}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma fórmula F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sec} x^{2}.
    Não vamos resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e o integrando que temos.

Passo 2

Idéia de resolução (substituição): quando vejo uma função composta do tipo \operatorname{sec}(x^{2}) e noto um fator x\,dx multiplicando, um truque padrão é fazer a substituição
u = x^{2}.
Explico por quê: a diferencial de u é
du = 2x\,dx,
logo podemos isolar
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
A substituição transforma a parte complicada \operatorname{sec}(x^{2}) em \operatorname{sec}(u) e o x\,dx em \tfrac{1}{2}du. Isso costuma simplificar muito integrais.

Passo 3

Aplicando a substituição u=x^{2} diretamente na integral:
\int x\operatorname{sec} x^{2}\,dx = \int \operatorname{sec}(u)\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du.
Portanto o problema reduz-se a encontrar uma primitiva de \operatorname{sec} u.

Passo 4

Como integrar \int \operatorname{sec} u\,du? Vou mostrar um método limpo e clássico: observar a derivada de \operatorname{sec} u+\tan u. Primeiro calcule
\frac{d}{du}\big(\operatorname{sec} u+\tan u\big)=\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u.
Fatorando, dá
\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u=\operatorname{sec} u(\tan u+\operatorname{sec} u).
Agora note que se fizermos v=\operatorname{sec} u+\tan u então
dv=(\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u)\,du=\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\tan u)\,du=\operatorname{sec} u\;v\,du.
Isolando \operatorname{sec} u\,du obtemos
\operatorname{sec} u\,du=\frac{1}{v}\,dv.
Portanto
\int \operatorname{sec} u\,du=\int \frac{1}{v}\,dv=\ln\!\big|v\big|+C=\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Observação alternativa (mais direta): derivando \ln|\operatorname{sec} u+\tan u| obtém-se exatamente \operatorname{sec} u, então \ln|\operatorname{sec} u+\tan u| é uma primitiva de \operatorname{sec} u.

Passo 5

Voltando à nossa integral com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2}\int \operatorname{sec} u\,du=\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big|+C.
Agora substituímos u=x^{2} de volta:
\int x\operatorname{sec} x^{2}\,dx=\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec}\big(x^{2}\big)+\tan\big(x^{2}\big)\big|+C.

Passo 6

Verificação rápida (diferenciação da resposta): tome
F(x)=\frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec}(x^{2})+\tan(x^{2})\big|+C.
Usando a regra da cadeia,
F'(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\operatorname{sec}(x^{2})\tan(x^{2})+\operatorname{sec}^{2}(x^{2})}{\operatorname{sec}(x^{2})+\tan(x^{2})}\cdot 2x = x\cdot\frac{\operatorname{sec}(x^{2})(\tan(x^{2})+\operatorname{sec}(x^{2}))}{\operatorname{sec}(x^{2})+\tan(x^{2})} = x\operatorname{sec}(x^{2}),
o que confirma que a primitiva está correta. Mandou bem por escolher um caso típico de substituição — é um padrão que aparece bastante em provas.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\big|\operatorname{sec}\big(x^{2}\big)+\tan\big(x^{2}\big)\big|+C

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