Calcule as integrais: \int x \operatorname{sec} x^{2} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\operatorname{sec} x^{2}\,dx.
Informações dadas:
A função a integrar é x\operatorname{sec} x^{2}.
Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma fórmula F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{sec} x^{2}.
Não vamos resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e o integrando que temos.
Passo 2
Idéia de resolução (substituição): quando vejo uma função composta do tipo \operatorname{sec}(x^{2}) e noto um fator x\,dx multiplicando, um truque padrão é fazer a substituição
u = x^{2}.
Explico por quê: a diferencial de u é
du = 2x\,dx,
logo podemos isolar
x\,dx = \frac{1}{2}\,du.
A substituição transforma a parte complicada \operatorname{sec}(x^{2}) em \operatorname{sec}(u) e o x\,dx em \tfrac{1}{2}du. Isso costuma simplificar muito integrais.
Passo 3
Aplicando a substituição u=x^{2} diretamente na integral:
Portanto o problema reduz-se a encontrar uma primitiva de \operatorname{sec} u.
Passo 4
Como integrar \int \operatorname{sec} u\,du? Vou mostrar um método limpo e clássico: observar a derivada de \operatorname{sec} u+\tan u. Primeiro calcule
Observação alternativa (mais direta): derivando \ln|\operatorname{sec} u+\tan u| obtém-se exatamente \operatorname{sec} u, então \ln|\operatorname{sec} u+\tan u| é uma primitiva de \operatorname{sec} u.
Passo 5
Voltando à nossa integral com o fator \tfrac{1}{2}: