Integração por substituição
\int \frac{1}{x^{2}} \cos ^{2}\left(\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
\frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)
ou seja, encontrar \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr).
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta virá com constante de integração C.

Passo 2

Identificar um bom método: observar que a função trigonométrica tem como argumento \tfrac{1}{x} e que a derivada de \tfrac{1}{x} envolve -\tfrac{1}{x^{2}}. Isso sugere a substituição
u=\frac{1}{x}.
Agora calculemos du. Derivando \,u=\tfrac{1}{x}\, em relação a x vem
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Isolando \dfrac{1}{x^{2}}\,dx obtemos
\frac{1}{x^{2}}\,dx = -du.
Explicação rápida: essa substituição é clássica — ela transforma o argumento complicado \tfrac{1}{x} em uma variável simples u e elimina o fator \tfrac{1}{x^{2}}\,dx que estava multiplicando o cosseno ao aparecer exatamente como -du.

Passo 3

Aplicar a substituição na integral. Substituindo \dfrac{1}{x^{2}}\,dx = -du e \tfrac{1}{x}=u, a integral vira
\int \frac{1}{x^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{1}{x}\right)\,dx = -\int \cos^{2}(u)\,du.
Então reduzimos o problema a encontrar -\int \cos^{2}(u)\,du.

Passo 4

Como integrar \cos^{2}(u)? Use a identidade de ângulo duplo que expressa \cos^{2} em termos de \cos(2u). A identidade é
\cos(2u)=2\cos^{2}(u)-1,
que rearranjando dá
\cos^{2}(u)=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Explicação: essa é uma fórmula padrão (útil porque integra-se facilmente \cos(2u)). Não precisa memorizar a prova agora, basta saber que ela vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo.

Passo 5

Substitua a identidade na integral:
- \int \cos^{2}(u)\,du = -\int \frac{1+\cos(2u)}{2}\,du.
Separe os termos:
-\int \frac{1+\cos(2u)}{2}\,du = -\frac{1}{2}\int du -\frac{1}{2}\int \cos(2u)\,du.

Passo 6

Integre termo a termo. Primeiro termo:
\int du = u.
Segundo termo: usar a regra \displaystyle \int \cos(a u)\,du = \frac{1}{a}\sin(a u) (é a reversão da regra da cadeia). Aqui a=2, logo
\int \cos(2u)\,du = \frac{1}{2}\sin(2u).
Substituindo:
-\frac{1}{2}\int du -\frac{1}{2}\int \cos(2u)\,du = -\frac{1}{2}u -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2u) + C.
Simplificando os coeficientes obtemos
-\frac{u}{2} - \frac{1}{4}\sin(2u) + C.

Passo 7

Voltar à variável original: lembrando que u=\dfrac{1}{x}, substituímos:
-\frac{u}{2} - \frac{1}{4}\sin(2u) + C = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right) + C.
Opcionalmente, usando \sin(2u)=2\sin u\cos u, outra forma equivalente é
-\frac{1}{2x} - \frac{1}{2}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\cos\!\left(\frac{1}{x}\right) + C,
pois -\tfrac{1}{4}\sin(2/x) = -\tfrac{1}{4}\cdot 2\sin(1/x)\cos(1/x) = -\tfrac{1}{2}\sin(1/x)\cos(1/x).
Verificação rápida (boa prática para prova): derivando -\tfrac{1}{2x} - \tfrac{1}{4}\sin(2/x) obtém-se \tfrac{1}{x^{2}}\cos^{2}(1/x), confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{2x}-\frac{1}{4}\sin\!\left(\frac{2}{x}\right)+C

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