Integração por substituição
Passo 1
O que o problema pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
ou seja, encontrar
.
Informações dadas:
- A integranda é
. - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta virá com constante de integração
.
Passo 2
Identificar um bom método: observar que a função trigonométrica tem como argumento
e que a derivada de
envolve
. Isso sugere a substituição
Agora calculemos
. Derivando
em relação a
vem
Isolando
obtemos
Explicação rápida: essa substituição é clássica — ela transforma o argumento complicado
em uma variável simples
e elimina o fator
que estava multiplicando o cosseno ao aparecer exatamente como
.
Passo 3
Aplicar a substituição na integral. Substituindo
e
, a integral vira
Então reduzimos o problema a encontrar
.
Passo 4
Como integrar
? Use a identidade de ângulo duplo que expressa
em termos de
. A identidade é
que rearranjando dá
Explicação: essa é uma fórmula padrão (útil porque integra-se facilmente
). Não precisa memorizar a prova agora, basta saber que ela vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo.
Passo 5
Substitua a identidade na integral:
Separe os termos:
Passo 6
Integre termo a termo. Primeiro termo:
Segundo termo: usar a regra
(é a reversão da regra da cadeia). Aqui
, logo
Substituindo:
Simplificando os coeficientes obtemos
Passo 7
Voltar à variável original: lembrando que
, substituímos:
Opcionalmente, usando
, outra forma equivalente é
pois
.
Verificação rápida (boa prática para prova): derivando
obtém-se
, confirmando que a primitiva está correta.