5^{\circ} ) Usando as regras básicas de integração, calcule as seguintes primitivas (integrais indefinidas):
\int\left(3 \operatorname{sec} ^{2}(x)+\pi\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integração indefinida) da função \,f(x)=3\operatorname{sec}^2(x)+\pi. O conteúdo aqui é integração básica, usando a linearidade da integral e as integrais padrão de \operatorname{sec}^2(x) e de constantes.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral para separar em duas partes:
\int\bigl(3\operatorname{sec}^2(x)+\pi\bigr)\,dx =3\int\operatorname{sec}^2(x)\,dx+\int\pi\,dx.

Passo 3

Reconhecemos que a derivada de \tan(x) é \operatorname{sec}^2(x). Logo,
\int\operatorname{sec}^2(x)\,dx=\tan(x).
Multiplicando por 3, obtemos
3\int\operatorname{sec}^2(x)\,dx=3\tan(x).

Passo 4

Agora, para a constante \pi vale
\int\pi\,dx=\pi x,
pois a primitiva de uma constante C é C\,x.

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, chegamos a
\int\bigl(3\operatorname{sec}^2(x)+\pi\bigr)\,dx=3\tan(x)+\pi x + C.

Resposta

3\tan(x)+\pi x + C

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