Questāo.(2,0 pts) Calcule as integrais.
\int x \sqrt{2+x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\sqrt{2+x}\,dx.
Aqui o conteúdo é usar substituição para transformar a raiz em potência simples e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Fazemos a troca
u = 2 + x,
de modo que
du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 2.
Assim, podemos reescrever x e dx em função de u.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int x\sqrt{2+x}\,dx = \int (u-2)\,u^{1/2}\,du = \int\bigl(u^{3/2} - 2\,u^{1/2}\bigr)\,du.
Agora integramos cada termo:
\int u^{3/2}\,du = \frac{2}{5}\,u^{5/2}, \qquad \int 2\,u^{1/2}\,du = 2\cdot\frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{4}{3}\,u^{3/2}.

Passo 4

Juntando os resultados,
\int x\sqrt{2+x}\,dx = \frac{2}{5}\,u^{5/2} \;-\;\frac{4}{3}\,u^{3/2} + C.
Voltando à variável original x (ou seja, u=x+2), concluímos
\frac{2}{5}(x+2)^{5/2} \;-\;\frac{4}{3}(x+2)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{5}(x+2)^{5/2} \;-\;\frac{4}{3}(x+2)^{3/2} + C.

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