Questāo.(2,0 pts) Calcule as integrais.
\int_{0}^{1} x e^{-2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,\mathrm{d}x.
O método mais adequado aqui é a integração por partes, pois temos um produto de funções x e e^{-2x}.

Passo 2

Na integração por partes, escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad \mathrm{d}v = e^{-2x}\,\mathrm{d}x.
Justificativa: u=x simplifica ao derivar (ficando \mathrm{d}u= \mathrm{d}x) e e^{-2x} é fácil de integrar.

Passo 3

Calculamos \mathrm{d}u e v:
\mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \qquad v = \int e^{-2x}\,\mathrm{d}x = -\tfrac12\,e^{-2x}.

Passo 4

A fórmula da integração por partes com limites é
\int_{0}^{1} u\,\mathrm{d}v = \Bigl[u\,v\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} v\,\mathrm{d}u.
Substituindo u, v, \mathrm{d}u:
\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,\mathrm{d}x = \Bigl[x\cdot\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1}\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)\,\mathrm{d}x.
Calculando o termo de contorno:
\Bigl[-\tfrac12 x e^{-2x}\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl(-\tfrac12\cdot1\cdot e^{-2}\Bigr) - \Bigl(-\tfrac12\cdot0\cdot e^{0}\Bigr) = -\tfrac12\,e^{-2}.

Passo 5

Restou a integral
- \int_{0}^{1}\bigl(-\tfrac12 e^{-2x}\bigr)\,\mathrm{d}x = +\tfrac12\int_{0}^{1} e^{-2x}\,\mathrm{d}x = \tfrac12\Bigl[-\tfrac12 e^{-2x}\Bigr]_{0}^{1} = -\tfrac14\bigl(e^{-2}-1\bigr) = \tfrac14\bigl(1 - e^{-2}\bigr).
Somando com o termo de contorno:
-\tfrac12\,e^{-2} + \tfrac14\bigl(1 - e^{-2}\bigr) = \tfrac14 - \tfrac14 e^{-2} - \tfrac12 e^{-2} = \tfrac14 - \tfrac34\,e^{-2}.

Resposta

\int_{0}^{1} x e^{-2x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}\,e^{-2}.

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