Calcule as integrais:
\int 2 x \sqrt{x^{2}+2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int 2x \sqrt{x^{2}+2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+2.
Dessa forma, ao derivar ambos os lados em relação a x, obtemos
du = 2x\,dx.

Passo 3

Reescrevemos a integral original em termos de u. Como du = 2x\,dx, temos
\int 2x \sqrt{x^{2}+2}\,dx = \int \sqrt{u}\;du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int \sqrt{u}\;du. Lembrando que \sqrt{u}=u^{1/2}, temos
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltamos à variável original x substituindo u = x^{2}+2:
\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{3}(x^{2}+2)^{3/2} + C.

Resposta

\int 2x \sqrt{x^{2}+2}\,dx = \frac{2}{3}\,(x^{2}+2)^{3/2} + C.

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