Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 2 \operatorname{sen} x \ln x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0^+}2\sin x\ln x.
Este é um problema de limites envolvendo uma forma indeterminada do tipo 0\cdot(-\infty). Para resolver, vamos usar a desigualdade \sin x<x em (0,1) e o teorema do confronto, além do fato conhecido de que
\lim_{x\to0^+}x\ln x=0.

Passo 2

Observe que
\lim_{x\to0^+}\sin x = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}\ln x = -\infty,
logo 2\sin x\ln x é da forma indeterminada 0\cdot(-\infty). Precisamos, então, reescrevê-lo de forma a aplicar o teorema do confronto.

Passo 3

Para 0<x<1 vale
0<\sin x<x.
Como \ln x<0 nesse intervalo, ao multiplicar a desigualdade por \ln x (negativo), o sentido inverte-se:
x\ln x < \sin x\,\ln x < 0.
Multiplicando tudo por 2>0, fica
2x\ln x < 2\sin x\,\ln x < 0.

Passo 4

Sabemos que
\lim_{x\to0^+}2x\ln x = 2\cdot\underbrace{\lim_{x\to0^+}x\ln x}_{=0} = 0,
e o limite da parte superior da cadeia também é 0. Pelo teorema do confronto, segue
\lim_{x\to0^+}2\sin x\,\ln x = 0.

Resposta

0

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