f(x)=\left\{\begin{array}{l} x+1 \text { se } x \geq 1 \\\\ 2 x \quad \text { se } x<1 \end{array}\right.
Calcule \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x). A função possui limite quando x tende a 1 ? Qual é este limite?
Passo 1
O enunciado define a função f\) por partes:
\[f(x)= \begin{cases} x+1, & x\ge1,\\\\ 2x, & x<1. \end{cases}
Pede-se os limites laterais em x=1\], isto é, \(\lim_{x\to1^+}f(x) e \lim_{x\to1^-}f(x), e depois verificar se o limite bilateral existe.
Passo 2
Para \displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x) usamos a parte da definição válida para x\ge1, que é f(x)=x+1. Como essa função é contínua em torno de x=1, basta substituir:
\lim_{x\to1^+}f(x) =\lim_{x\to1^+}(x+1) =1+1 =2.
Passo 3
Para \displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x) usamos a parte da definição válida para x<1, que é f(x)=2x. Novamente é função contínua perto de 1, então
\lim_{x\to1^-}f(x) =\lim_{x\to1^-}2x =2\cdot1 =2.
Passo 4
Como \lim_{x\to1^+}f(x)=2 e \lim_{x\to1^-}f(x)=2, os limites laterais coincidem. Logo o limite bilateral existe e vale 2.
Resposta
\displaystyle \lim_{x\to1^+}f(x)=2 \displaystyle \lim_{x\to1^-}f(x)=2
Sim, o limite \lim_{x\to1}f(x) existe e é 2.